Sujet national, juin 2013, exercice 3

Énoncé

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquez si elle est vraie ou fausse et justifiez la réponse choisie.
1. Proposition 1 : Dans le plan muni d'un repère orthonormé, l'ensemble des points M dont l'affixe z vérifie l'égalité | z - i| = | z + 1| est une droite.
Tenez compte de l'égalité entre module et distance: | z_{\mathrm{M}}-z_{\mathrm{A}}| =\mathrm{AM}.
2. Proposition 2 : Le nombre complexe (1 + i \sqrt{3})^{4} est un nombre réel.
Trouvez la forme exponentielle de 1+i\sqrt{3} puis élevez à la puissance 4.
3. Soit ABCDEFGH un cube.
Proposition 3 : Les droites (EC) et (BG) sont orthogonales.
Décomposez \overrightarrow{EC} en somme de deux vecteurs dont chacun est orthogonal à \overrightarrow{BG}.
Sujet national, juin 2013, exercice 3 - illustration 1
4. L'espace est muni d'un repère orthonormé \left(\mathrm{O}\ ;\ \vec{i} ,\ \vec{j} ,\ \vec{k}\right). Soit le plan \mathcal{P} d'équation cartésienne x + y + 3z + 4 = 0. On note S le point de coordonnées (1\ ;\ -2\ ;\ -2).
Proposition 4 : La droite qui passe par S et qui est perpendiculaire au plan \mathcal{P} a pour représentation paramétrique \begin{cases}x = 1 + t\cr y = -2 + t,\quad t \in \mathbb{R}\cr z = -2 + 3t\end{cases}.
Montrez qu'un vecteur directeur de la droite est un vecteur normal de \mathcal{P} et que S appartient à cette même droite.

Corrigé

1. Proposition vraie.
Soit A le point d'affixe i et B le point d'affixe -1 dans le plan complexe. Alors si on appelle M le point d'affixe z, on a :
| z - i| = | z_\mathrm{M} - z_\mathrm{A}| =\mathrm{AM}.
De même | z + 1| = \mathrm{MB}, et donc l'ensemble des points M recherché est la médiatrice du segment [AB].
2. Proposition fausse.
On a z=1+i \sqrt{3}=2(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2})=2\mathrm{e}^{\frac{i \pi}{3}}, d'où z^4=16\mathrm{e}^{\frac{4i \pi}{3}}=-8-8i \sqrt{3} et donc z^4 n'est pas un réel.
3. Proposition vraie.
(FC) et (BG) sont perpendiculaires car ce sont les deux diagonales d'un carré.
(EF) est orthogonale au plan (BFG) donc en particulier (EF) est perpendiculaire à (BG).
(BG) est orthogonale au plan (EFC), car (BG) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (EFC).
Finalement, (EC) est perpendiculaire à (BG), car (BG) est orthogonale à toute droite du plan (EFC).
4. Proposition vraie.
La droite d dont on nous propose une représentation paramétrique a pour vecteur directeur le vecteur \overrightarrow{n} de coordonnées (1\ ;\ 1\ ;\ 3), par ailleurs vecteur normal à \mathcal{P}, d'après l'équation cartésienne de celui-ci.
Comme de plus, le point S appartient à d (c'est le point de paramètre t = −1 sur cette droite), on en déduit donc que d est bien la droite passant par S et perpendiculaire à \mathcal{P}.