Sujet national, juin 2013, exercice 2

Énoncé

7 points
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé \left(\mathrm{O}\,;\,\vec{i},\,\vec{j}\right), la courbe représentative \mathcal{C} d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ]0\,;\,+\infty[.
Sujet national, juin 2013, exercice 2 - illustration 1
On dispose des informations suivantes :
  • les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1 ; 0), (1 ; 2), (0 ; 2) ;
  • la courbe \mathcal{C} passe par le point B et la droite (BC) est tangente à \mathcal{C} en B ;
  • il existe deux réels positifs a et b tels que pour tout réel strictement positif x, f(x)\,=\,\frac{a+b\ln{x}}{x}.
1. 
a) En utilisant le graphique, donnez les valeurs de f(l) et f' (1).
f(1) est l'ordonnée du point B, remarquez que la tangente en B est horizontale et utilisez le lien entre coefficient directeur d'une tangente et nombre dérivé.
b) Vérifiez que pour tout réel strictement positif x, f'(x)\,=\,\frac{(b\,-\,a)\,-\,b\ln{x}}{x^{2}}.
Utilisez la formule de la dérivée d'un quotient.
c) Déduisez les réels a et b.
Les questions a) et b) permettent d'établir un système de deux équations à deux inconnues a et b.
2. 
a) Justifiez que pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0\,;\,+\infty[, f'(x) a le même signe que -\ln(x).
Décomposez f' en produit de deux facteurs, dont l'un est toujours positif et l'autre est -\ln(x).
b) Déterminez les limites de f en 0 et en +\infty. Vous pourrez remarquer que pour tout réel x strictement positif, f(x)\,=\,\frac{2}{x}\,+\,2\frac{\ln{x}}{x}.
Utilisez le propriétés de limites de produit, somme et quotient.
c) Déduisez le tableau de variations de la fonction f.
La recherche du signe de \ln(x) permet de trouver les variations de f.
3. 
a) Démontrez que l'équation f(x) = 1 admet une unique solution α sur l'intervalle ]0 ; 1].
Le théorème des valeurs intermédiaires prouve l'existence et l'unicité de \alpha.
b) Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un unique réel β de l'intervalle ]1\,;\,+\infty] tel que f(β) = l.
Déterminez l'entier n tel que n < β < n + 1.
Le théorème des valeurs intermédiaires prouve l'existence et l'unicité de \beta et la technique de balayage donne l'encadrement recherché.
4. 
Variables :
a, b et m sont des nombres réels.
Initialisation :
Affecter à a la valeur 0.
Affecter à b la valeur 1.
Traitement :
Tant que b − a > 0,1
Affecter à m la valeur \frac{1}{2}(a + b).
Si f(m) < 1 alors Affecter à a la valeur m.
Sinon Affecter à b la valeur m.
Fin de Si.
Fin de Tant que.
Sortie :
Afficher a.
Afficher b.
Cet algorithme permet un encadrement de la valeur de \alpha par la méthode de dichotomie.
a) Faites tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que vous recopierez sur la copie.

Étape 1
Étape 2
Étape 3
Étape 4
Étape 5
a
0




b
1




b − a





m






b) Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ?
c) Modifiez l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de β d'amplitude 10−1.
5. 
Le but de cette question est de démontrer que la courbe \mathcal{C} partage le rectangle OABC en deux domaines d'aires égales.
a) Justifier que cela revient à démontrer que \int_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{1}f(x)\mathrm{d}x\,=\,1.
Le lien entre intégrale et aire vous permet de conclure.
b) En remarquant que l'expression de f(x) peut s'écrire \frac{2}{x}+{2}\times\frac{1}{x}\times\ln{x}, terminer la démonstration.
L'expression de f proposée dans l'énoncé et la connaissance de la primitive d'une fonction de la forme u'\cdot u_n vous permet de répondre.

Corrigé

1. 
a) Le point B étant le point de la courbe d'abscisse 1 et d'ordonnée 2, f(1) = 2. Par ailleurs, la tangente en B à la courbe est horizontale, donc le coefficient directeur de cette tangente est égal à 0 et f'(1) = 0.
b) La fonction f est dérivable sur ]0\;;\;+\infty[, en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle. Par ailleurs :
f'(x) = \frac{\left(0 + b \times \frac{1}x\right) \times x - (a + b \ln x) \times 1}{x^2} = \frac{b- (a + b \ln x) }{x^2}
et finalement :
f'(x) = \frac{(b-a)-b \ln x}{x^2}.
c) f(1) = \frac{a + b \ln1}1 = a, or d'après le 1. a), f(1) = 2, d'où a = 2.
Par ailleurs, on a f'(1) = \frac{(b-2) - b \ln(1)}{1^2} = b - 2, or d'après le 1. a), f'(1) = 0, donc b = 2.
2. 
a) On remplace a et b par 2, dans l'expression de f' et on obtient :
f'(x) = \frac{-2\ln x}{x^2} = \frac{2}{x^2}\times(-\ln x).
Puisque pour tout x > 0, \frac{2}{x^2}>0, le signe de f et le même que celui de -\ln x pour tout x appartenant à ]0\;;\;+\infty[.
b) Quand x tend vers 0^+, ln x tend vers -\infty d'où par opérations sur les limites :
\lim\limits_{x \to 0^+}{2 + 2\ln x} = -\infty.
Par ailleurs, \lim\limits_{x \to 0^+}\frac{1}{x} = \infty, donc par produit, \lim\limits_{x\to0^+}{f(x)} = -\infty.
On remarque que f(x)=\frac{2}{x}+2\frac{\ln x}{x}.
Or \lim\limits_{x \to +\infty}{\frac{1}{x}} = 0 et \lim\limits_{x \to +\infty}{\frac{\ln x}{x}} = 0 d'après la propriété des croissances comparées.
Donc par produit et somme :
\displaystyle\lim_{x\to +\infty}{f(x)} = 0.
c) 
-\ln(x)>0 est équivalent à \ln(x)<0, soit x < 1.
f est donc croissante sur ]0 ; 1] et décroissante sur [1\;;\;+\infty[.
Sujet national, juin 2013, exercice 2 - illustration 2
3. 
a) La fonction f est continue
et strictement croissante sur ]0 ; 1] et 1 \in]-\infty\;;\;f(1)[.
On peut donc appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur ]0 ; 1], ce qui prouve l'existence et l'unicité d'une solution α à l'équation f(x) = 1.
b) Grâce à la calculatrice et la technique dite de balayage, on prouve que l'unique solution β à l'équation f(x) = 1 sur ]1\;;\;+\infty[ appartient à ]5 ; 6[, par suite, n = 5.
4. 
a) 

Étape 1
Étape 2
Étape 3
Étape 4
Étape 5
a
0
0
\frac{1}{4}
\frac{3}{8}
\frac{7}{16}
b
1
\frac{1}{2}
\frac{1}{2}
\frac{1}{2}
\frac{1}{2}
b − a
1
\frac{1}{2}
\frac{1}{4}
\frac{1}{8}
\frac{1}{16}
m
\frac{1}{2}
\frac{1}{4}
\frac{3}{8}
\frac{7}{16}


b) Les valeurs affichées par cet algorithme : \frac{7}{16} et \frac{1}{2} sont les bornes d'un encadrement de α d'amplitude inférieure ou égale à 10−1.
c) On modifie les 3 lignes de l'initialisation :
  • Affecter à a la valeur 5.
  • Affecter à b la valeur 6.
  • Si f(m) > 1 alors Affecter à a la valeur m.
5. 
a) Commençons par trouver l'abscisse du point d'intersection de la courbe \mathcal{C} et de l'axe des abscisse.
Cela revient à résoudre l'équation f(x) = 0 sur ]0 ; 1].
Soit 2+2\ln x=0, soit \ln x=-1 et x=\frac{1}{\mathrm{e}}.
On doit donc démontrer que l'aire J du domaine délimité par l'axe des abscisse, la courbe \mathcal{C}, les droites d'équations x=\frac{1}{\mathrm{e}} et x = 1 est égale à la moitié de celle du rectangle OABC, c'est-à-dire 1.
Or J=\int_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^1f(x)\mathrm{d}x.
On doit donc démontrer que \int_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^1f(x)\mathrm{d}x=1.
b) On a f(x) = 2 \times \frac1x + 2 \times \frac1x \times \ln x. En posant u(x) = \ln x, on a f = 2u'+2u'u.
Une primitive de f sur ]0\;;\;+\infty[ est donc F telle que F(x) = 2\ln x + (\ln x)^2.
On a alors :
\displaystyle{\int_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^1{f(x) \mathrm{d}x}} = \left[F(x)\right]_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^1 = F(1) - F\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right).
\int_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^1{f(x)\,\mathrm{d}x} = 2 \ln 1 + (\ln 1)^2 - \left[2 \ln\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right) + \left(\ln\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)\right)^2\right]
\int_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^1{f(x)\,\mathrm{d}x}=0 -(-2 + 1) = 1.
Le rectangle OABC est bien partagé en deux domaines de même aire par la courbe \mathcal{C}.