Sujet national, juin 2013, exercice 1

Énoncé

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Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35 % des plants proviennent de l'horticulteur \mathrm{H}_1, 25 % de l'horticulteur \mathrm{H}_2 et le reste de l'horticulteur \mathrm{H}_3. Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres : des conifères et des arbres à feuilles.
La livraison de l'horticulteur \mathrm{H}_1 comporte 80 % de conifères alors que celle de l'horticulteur \mathrm{H}_2 n'en comporte que 50 % et celle de l'horticulteur \mathrm{H}_3 seulement 30 %.
1. 
Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock. On envisage les événements suivants :
  • H_1 : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur \mathrm{H}_1 » ;
  • H_2 : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur \mathrm{H}_2 » ;
  • H_3 : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur \mathrm{H}_3 » ;
  • C : « l'arbre choisi est un conifère » ;
  • F : « l'arbre choisi est un arbre feuillu ».
a) Construisez un arbre pondéré traduisant la situation.
Commencez par les trois branches correspondant à H_1, H_2 et H_3, puis pour chacune de ces branches deux branches pour conifères et feuillus.
b) Calculez la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur \mathrm{H}_3.
Appliquez la formule des probabilités conditionnelles.
c) Justifiez que la probabilité de l'événement C est égale à 0,525.
Appliquez la loi des probabilités totales, après avoir précisé la partition de l'univers que vous avez choisie.
d) L'arbre choisi est un conifère. Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur \mathrm{H}_1 ? On arrondira à 10^{-3} .
Appliquez la formule des probabilités conditionnelles.
2. 
On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi.
a) Justifiez que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Vérifiez que la variable aléatoire vérifie toutes les conditions requises pour qu'elle suive une loi binomiale en précisant ses paramètres.
b) Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ?
Vous arrondirez à 10^{-3} .
Appliquez la formule de la loi binomiale.
c) Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ?
Vous arrondirez à 10^{-3} .
Traduisez l'événement sous forme d'inégalité puis penser à utiliser l'événement contraire.

Corrigé

1. 
a) 
Sujet national, juin 2013, exercice 1 - illustration 1
b) Pour calculer la probabilité de l'intersection H_3 \cap C, on applique la formule des probabilités composées et on obtient donc :
P(H_3 \cap C) = P(H_3) \times P_{H_3}(C) = 0,4 \times 0,3.
Soit P(H_3 \cap C) = 0,12.
c) La jardinerie ne se fournissant qu'auprès des trois horticulteurs, les événements H_1, H_2 et H_3 forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
P(C) = P(H_1\cap C) +P(H_2\cap C) +P(H_3\cap C)
P(C)= P(H_1) \times P_{H_1}(C) +P(H_2) \times P_{H_2}(C) +P(H_3) \times P_{H_3}(C)
P(C)= 0,35 \times 0,8 + 0,25 \times 0,5 + 0,4 \times 0,3
P(C)=0,525.
d) D'après la formule des probabilités conditionnelles :
P_C(H_1) = \frac{P(H_1 \cap C)}{P(C)} = \frac{0,35 \times 0,8}{0,525} \approx 0,533.
2. 
a) On a 10 fois la répétition d'un même événement, avec une probabilité de succès de 0,525, de façon indépendante, donc la variable aléatoire X suit bien une loi binomiale de paramètres 10 et 0,525.
b) Cela revient à calculer P(X=5), d'où :
P(X = 5) = {{10}\choose{5}} \times 0,525^5 \times (1 - 0,525)^5
P(X = 5) \approx 0,243.
c) L'événement « au moins deux feuillus » est aussi l'événement « au plus 8 conifères », d'événement contraire « 9 ou 10 conifères ». Cela revient à calculer P(X \leq 8), on obtient alors :
P(X \leq 8) = 1 - P(X = 9) - P(X =10)
P(X \leq 8) =1-{{10}\choose{9}} \times 0,525^9 \times (1 - 0,525)-0,525^{10}\approx 0,984.