Amérique du Nord, mai 2013, exercice 3

Énoncé

5 points
Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400 grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable.
La masse d'un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d'espérance μ = 400 et d'écart type σ = 11.
Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche.
Partie A
Vous pourrez utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.
x
380
385
390
395
400
P(X \leqslant x)
0,035
0,086
0,182
0,325
0,5

x
405
410
415
420
P(X \leqslant x)
0,675
0,818
0,914
0,965

1. Calculez P(390 \leqslant X \leqslant 410).
Utilisez le tableau et le fait que si X est une variable aléatoire suivant une loi continue : P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a).
2. Calculez la probabilité p qu'un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.
Traduisez à l'aide d'une variable aléatoire et d'une probabilité le fait qu'un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.
3. Le fabricant trouve cette probabilité p trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de σ sans modifier celle de μ.
Pour quelle valeur de σ la probabilité qu'un pain soit commercialisable est-elle égale à 96 % ? On arrondira le résultat au dixième.
On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 0 et d'écart type 1, on a P(Z \leqslant −1,751) \approx 0,040.
Traduisez l'énoncé à l'aide d'une variable aléatoire et d'une probabilité puis centrez, réduisez et utilisez la valeur donnée dans l'énoncé.
Partie B
Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d'obtenir 96 % de pains commercialisables.
Afin d'évaluer l'efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300 pains fabriqués.
1. Déterminez l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille 300.
Utilisez les données de l'énoncé pour déterminer les bornes de l'intervalle de fluctuation.
2. Parmi les 300 pains de l'échantillon, 283 sont commercialisables.
Au regard de l'intervalle de fluctuation obtenu à la question 1., peut-on décider que l'objectif a été atteint ?
Calculez la fréquence observable de l'échantillon et vérifiez si elle appartient ou non à l'intervalle de fluctuation précédemment déterminé.
Partie C
Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.
1. On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est de 0,913. En déduire la valeur de λ arrondie au millième.
Dans toute la suite vous prendrez λ = 0,003.
Utilisez une formule de la loi exponentielle: P(X\geq c)=e^{-\lambda c}.
2. Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours, sachant qu'elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours ?
Utilisez la formule des probabilités conditionnelles et la formule précédente.
3. Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu'il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ?
Utilisez une formule de la loi exponentielle : P(X\geq c)=e^{-\lambda c}.

Corrigé

Partie A
1. P(390 \leq X \leq 410)=P( X \leq 410)-P( X\leq390)
=0,818-0,182=0,636.
2. Un pain choisi au hasard dans la production est commercialisable si et seulement si \{X\geq385\} est l'événement contraire de \lbraceX < 385\rbrace. On remarque que P(X < 385) = P(X inférieur ou égal 385). On a donc :
P(X\geq385)=1-P(X\leq385)
P(X\geq385)=1-0,086=0,914.
3. On désigne par Y la variable aléatoire de paramètres \mu=400 et d'écart type σ inconnu, on a : P(Y\geq 385)=0,96 d'où 1-P(Y\leq385)=0,96 et P(Y\leq385)=0,04.
Or, d'après le cours, on sait que si Y suit une loi normale de paramètres \mu=400 et σ, alors Z=\frac{Y-400}{\sigma} suit une loi normale centrée réduite et P(Y inférieur ou égal 385) = 0,04 entraîne P\left(Z \leq \frac{385-400}{\sigma}\right) = 0,04.
D'après l'énoncé nous savons que P(Z \leq -1,751) \approx 0,040. On a donc : \frac{-15}{\sigma}=-1,751 et finalement \sigma=\frac{15}{1,751}\approx8,6.
Si σ = 8,6, valeur approché au dixième, la probabilité qu'un pain soit commercialisable est de 96 %.
Partie B
1. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille 300 s'écrit :
I=\left[ p-1,96{\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}\;;\;p-+,96{\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}\right]
avec p = 0,96 et n = 300.
On a donc : I = [0,93 ; 0,99].
2. Parmi les 300 pains de l'échantillon, 283 sont commercialisables.
La fréquence observable de pains commercialisables dans cet échantillon est de \frac{283}{300} soit environ 94 % de la production.
Puisque 0,94 \in [0,93 ; 0,99], on décide que l'objectif a été atteint.
Partie C
1. On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est P(T\geq 30)=0,913.
D'après le cours, on sait que si X suit une loi exponentielle de paramètre λ alors P(X\geq c)=\mathrm{e}^{-\lambda c}.
On obtient donc ici : P(T\geq30)=\mathrm{e}^{-30\lambda}.
\mathrm{e}^{-30\lambda}=0,913 entraîne -30\lambda=\ln(0,913) et finalement \lambda=0,003.
2. Calculons P_{T\geq 60}\left(T\geq 90\right).
On a :
P_{T\geq 60}\left(T\geq 90\right)=\frac{P(\{T\geq 60\}\cap\{T\geq 90\})}{P(T\geq 60)}
P_{T\geq 60}\left(T\geq 90\right)=\frac{P(T\geq 90)}{P(T\geq 60}
P_{T\geq 60}\left(T\geq 90\right)=\frac{\mathrm{e}^{-90\lambda}}{\mathrm{e}^{-60\lambda}}
P_{T\geq 60}\left(T\geq 90\right)=\mathrm{e}^{-30\lambda}.
Avec \lambda = 0,003, on a donc :
P_{T\geq 60}\left(T\geq 90\right)=P(T\geq30)=0,913.
La probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours, sachant qu'elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours est 0,913.
3. La probabilité que la balance fonctionne au moins un an sans dérèglement est :
P(T\geq 365)=\mathrm{e}^{-365\lambda}\approx 0,335.
Le vendeur a donc tort.
Cherchons n tel que P(T\geq n)=0,5.
Cela revient à résoudre \mathrm{e}^{-0,003n}=0,5, d'où -0,003n=\ln(0,5) et n\approx 231,05.
La balance a une chance sur deux pour ne pas se dérégler avant 231 jours.