Amérique du Nord, mai 2013, exercice 2

Énoncé

5 points
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.
On considère la suite (u_n) définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel :
n, u_{n+1}\,=\,\sqrt{2u_{n}}.
1. 
On considère l'algorithme suivant :
Variables :
n est un entier naturel
u est un réel positif
Initialisation :
Demander la valeur de n
Affecter à u la valeur 1
Traitement :
Pour i variant de 1 à n :
Affecter à u la valeur \sqrt{2u}
Fin de Pour
Sortie :
Afficher u
a) Donnez une valeur approchée à 10−4 près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit n = 3.
Cet algorithme vous permet de déterminer la valeur de u_1, u_2 et finalement u_3 demandés.
b) Que permet de calculer cet algorithme ?
Cet algorithme permet de calculer le terme de rang n d'une suite (u_n).
c) Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de n.
n
1
5
10
15
20
Valeur
affichée
1,414 2
1,957 1
1,998 6
1,999 9
1,999 9

Quelles conjectures pouvez-vous émettre concernant la suite (u_n) ?
De l'observation du tableau vous pouvez faire des conjectures sur les variations ou la convergence de la suite.
2. 
a) Démontrez que, pour tout entier naturel n, 0 < u_n \leqslant 2.
Il s'agit d'une démonstration par récurrence.
b) Déterminez le sens de variation de la suite (u_n).
Comme vous venez de démontrer que la suite u est à termes strictement positifs, étudiez le quotient \dfrac{u_{n+1}}{u_n}.
c) Démontrez que la suite (u_n) est convergente. Ne demandez pas la valeur de sa limite.
Pensez au théorème de convergence qui prouve la convergence de la suite sans calculer la limite.
3. 
On considère la suite (v_n) définie, pour tout entier naturel n, par v_n = ln u_n − ln 2.
a) Démontrez que la suite (v_n) est la suite géométrique de raison \frac{1}{2} et de premier terme v0 = −ln 2.
Le théorème des valeurs intermédiaires prouve l'existence et l'unicité de \alpha.
b) Déterminez, pour tout entier naturel n, l'expression de v_n en fonction de n, puis de u_n en fonction de n.
Prouvez l'existence d'un nombre q indépendant de n tel que v_{n+1}=q\cdot v_n.
c) Déterminez la limite de la suite (u_n).
Déterminez la limite de (v_n) puis par composition de slimites déduisez celle de (u_n).
d) Recopiez l'algorithme ci-dessous et complétez-le par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de n telle que u_n > 1,999.
Variables :
n est un entier naturel
u est un réel
Initialisation :
Affecter à n la valeur 0
Affecter à u la valeur 1
Traitement :
Sortie :
Dans la partie « Traitement » de l'algorithme placez une boucle adéquate et placez en « Sortie » : « Afficher n ».

Corrigé

1. 
a) Pour n = 3, l'algorithme affiche 1,8340 à 10^{-4} près.
b) Cet algorithme affiche la valeur de u_n.
c) D'après le tableau, on peut conjecturer que la suite est croissante et convergente vers un nombre proche de 2.
2. 
a) Montrons par récurrence la propriété P(n) : 0 < u_n \leq 2.
Initialisation : on a u0 = 1 donc 0 < u0 \leq 2, P(0) est vraie.
On définit la fonction f sur [0 ; 2] par f(x)=\sqrt{2x}. On a pour tout entier n, u_{n+1}=f(u_n). f est croissante sur [0 ; 2].
Hérédité : supposons qu'il existe un entier naturel n tel que 0 < u_n \leq 2.
On a : 0<u_{n} \leq 2\Leftrightarrow0<2u_{n} \leq 4
\Leftrightarrow0<\sqrt{ 2u_{n}} \leq \sqrt{4}\Leftrightarrow0<u_{n+1} \leq 2.
P(n+1) est vraie.
Conclusion : d'après le principe de récurrence, on a pour tout entier naturel n, 0 < u_n \leq 2.
b) Montrons par récurrence la propriété Q(n) : u_n \leq u^{n+1}.
u_1=\sqrt{2}\geq u_0=1, Q(0) est vraie.
Si u_n\leq u_{n+1}, comme f est croissante, f(u_n)\leq f(u_{n+1}), c'est-à-dire u_{n+1}\leq u_{n+2}, Q(n+1) est vraie. On en déduit donc, d'après le principe de récurrence, que (u_n) est une suite croissante.
c) On vient de prouver que d'une part la suite (u_n) est croissante et que d'autre part elle est majorée par 2. D'après le théorème de convergence monotone, la suite (u_n) est convergente.
3. 
a) Pour tout entier naturel n,
v_{n+1} = \ln u_{n+1} - \ln 2, or u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.
Alors :
v_{n+1} = \ln {\sqrt{2u_{n}}} - \ln 2
v_{n+1}=\frac{1}{2}\left(\ln u_n+\ln2\right)-\ln2
v_{n+1}=\frac{1}{2}\left(\ln u_n-\ln2\right)=\frac{1}{2}v_n.
De plus u_0=\ln u_0-\ln2=\ln1-\ln2=-\ln2.
La suite (v_n) est donc la suite géométrique de raison \frac{1}{2} et de premier terme v_{0} = - \ln 2.
b) On déduit de ce qui précède que pour tout entier naturel n,
v_{n}=-\ln2\left(\frac{1}{2}\right)^n.
v_{n} = \ln (u_{n}) - \ln 2 \Leftrightarrow v_n=\ln \left(\frac{u_n}{2}\right) \Leftrightarrow {\frac{u_n}{2}}=\mathrm{e}^{v_n} \Leftrightarrow u_n=2\mathrm{e}^{v_n}.
D'où pour tout entier n, u_n=2\mathrm{e}^{-\ln2\left(\frac{1}{2}\right)^n}.
c) Comme 0<\frac{1}{2}<1, \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}{\left(\frac{1}{2}\right)^n}=0 et \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}{\left(v_n\right)}=0
On sait que \lim\limits_{x\rightarrow0}{\left(\mathrm{e}^x\right)}=1, alors par composition des limites \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}{\left(\mathrm{e}^{v_n}\right)}=1 et finalement \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}{\left(u_n\right)}=2.
d) L'algorithme ci-dessous affiche en sortie la plus petite valeur de n telle que u_{n} > 1,999.
Variables :
n est un entier naturel
u est un réel
Initialisation :
affecter à n la valeur 0
Affecter à u la valeur 1
Traitement :
Tant que u\leq 1,999
Affecter à u la valeur \sqrt{2u}
Affecter à n la valeur n + 1
Sortie :
Afficher n