Amérique du Nord, mai 2013, exercice 1

Énoncé

5 points
On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
On considère les points \mathrm{A}(0\ ;\ 4\ ;\ 1), \mathrm{B}(1\ ;\ 3\ ;\ 0), \mathrm{C}(2\ ;\ -1\ ;\ -2) et \mathrm{D}(7\ ;\ -1\ ;\ 4).
1. Démontrez que les points \mathrm{A}, \mathrm{B} et \mathrm{C} ne sont pas alignés.
Il vous suffit de vérifier, par exemple, que \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} ne sont pas colinéaires.
2. 
Soit \Delta la droite passant par le point D et de vecteur directeur \vec{u}(2\ ;\ -1\ ;\ 3).
a) Démontrez que la droite \Delta est orthogonale au plan (\mathrm{ABC}).
\overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} n'étant pas colinéaires, il vous suffit alors de montrer que \overrightarrow{u} est orthogonales à \overrightarrow{\mathrm{AB}} et à \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
b) Vous devez en déduire une équation cartésienne du plan (\mathrm{ABC}).
Une équation cartésienne d'un plan est de la forme: ax+by+cz+d=0, \overrightarrow{u} étant un vecteur normal de (\mathrm{ABC}), vous devez déduire la valeur de a, b et c, et ensuite tenez compte du fait que \mathrm{A} par exemple appartient à (\mathrm{ABC}).
c) Déterminez une représentation paramétrique de la droite \Delta.
Vous connaissez les coordonnées d'un point de \Delta et celles d'un de ses vecteurs directeurs, vous pouvez donc déduire sa représentation paramétrique.
d) Déterminez les coordonnées du point H, intersection de la droite \Delta et du plan (\mathrm{ABC}).
Un point appartient à l'intersection de deux ensembles de points si et seulement si ses coordonnées vérifient les équations des deux ensembles. Ainsi remplacez dans l'équation cartésienne du plan x, y et z par les coordonnées d'un point quelconque de \Delta en fonction d'un paramètre. Cette substitution vous permet de déterminer le paramètre puis les coordonnées du point recherché.
3. 
Soit \mathcal{P}_1 le plan d'équation x +y +z = 0 et \mathcal{P}_2 le plan d'équation x +\,4y +\,2 =\,0.
a) Démontrez que les plans \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 sont sécants.
Montrez que leurs vecteurs normaux respectifs ne sont pas colinéaires.
b) Vérifiez que la droite d, intersection des plans \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2, a pour représentation paramétrique \begin{cases}x = -4t - 2\cr y = t\qquad\qquad, {t} \in \mathbb{R}\cr z = 3t + 2\end{cases}.
Connaissant la représentation paramétrique de la droite il vous suffit de vérifier que d est incluse à la fois dans (\mathcal{P}_1) et (\mathcal{P}_2).
c) La droite d et le plan (\mathrm{ABC}) sont-ils sécants ou parallèles ?
Montrez que d est parallèle à (\mathrm{ABC}) en vérifiant qu'un vecteur directeur directeur de d est orthogonal à un vecteur normal de (\mathrm{ABC}).

Corrigé

1. 
Pour démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés, il suffit de démontrer, par exemple, que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} ne sont pas colinéaires.
Or on a :
\overrightarrow{\mathrm{AB}}(1\;;\;-1\;;\;-1) et \overrightarrow{\mathrm{AC}}(2\;;\;-5\;;\;-3).
Puisque \frac{1}{2}\neq \frac{-1}{-5}, les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} ne sont pas proportionnelles ce qui entraîne que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} ne sont pas colinéaires : les points ne sont donc pas alignés.
2. 
a)  Soit \Delta la droite passant par le point \mathrm{D} et de vecteur directeur \overrightarrow{u}(2\;;\;- 1\;;\;3).
Pour démontrer que la droite \Delta est orthogonale au plan (\mathrm{ABC}), il suffit de démontrer que \overrightarrow{u} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (\mathrm{ABC}), par exemple les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} :
\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{u}=1\times2+(-1)\times (-1)+(-1)\times 3=0
\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{u}=2\times2+(-5)\times (-1)+(-3)\times 3=0.
Les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} sont orthogonaux à \overrightarrow{u}.
La droite \Delta est orthogonale à deux vecteurs non colinéaires du plan (\mathrm{ABC}) : elle est orthogonale au plan (\mathrm{ABC})
b) Les calculs précédents montrent que \overrightarrow{u} est un vecteur normal à (\mathrm{ABC}).
Une équation cartésienne de (\mathrm{ABC}) est donc de la forme 2x-y+3z+d=0.
\mathrm{A} appartient au plan (\mathrm{ABC}), ses coordonnées vérifient donc :
2\times0-4+3\times 1+d=0 \Leftrightarrow d=1.
Une équation cartésienne du plan (\mathrm{ABC}) est donc : 2x-y+3z+1=0.
c) Déterminons une représentation paramétrique de la droite \Delta.
Comme la droite \Delta a pour vecteur directeur \overrightarrow{u}(2\ ;\ - 1\ ;\ 3) et contient le point \mathrm{D}(7\ ;\ -1 ;\ 4), une représentation paramétrique de \Delta est :
\left\{\begin{array}{l} x=2t+7\\ y=-t-1\\ z =3t+4 \end{array}\right. \quad,\ t \in \mathbb{R}.
d) Puisque le point \mathrm{H} est l'intersection de la droite \Delta et du plan (ABC), ses coordonnées sont solutions du système : \left\{\begin{array}{l} x=2t+7\\ y =-t-1\\ z = 3t + 4\\ 2x-y+3z+1=0 \end{array}\right.\!,\ t \in \mathbb{R}.
Le paramètre t vérifie donc :
2(2t+7)-(-t-1)+3(3t+4)+1 =0
ce qui donne t = -2, et finalement : \mathrm{H}(3\ ;\ 1\ ;\ -2).
3. 
a) Pour démontrer que les plans \mathcal{P}_{1} et \mathcal{P}_{2} sont sécants il suffit de démontrer qu'ils ne sont pas parallèles, c'est-à-dire que leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.
Le plan \mathcal{P}_1 d'équation x + y + z = 0 a pour vecteur normal \overrightarrow{n_1}(1\;;\;1\;;\;1).
Le plan \mathcal{P}_2 d'équation x + 4y + 2 = 0 a pour vecteur normal \overrightarrow{n_2}(1\;;\;4\;;\;0).
Les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{n_1} et \overrightarrow{n_2} ne sont pas proportionnelles.
Les vecteurs \overrightarrow{n_1} et \overrightarrow{n_2} ne sont donc pas colinéaires et les plans sont sécants.
b) Pour vérifier que la droite d, intersection des plans \mathcal{P}_{1} et \mathcal{P}_{2}, a pour représentation paramétrique \left\{\begin{array}{l c l} x=-4t-2\\ y =t\\ z = 3t + 2 \end{array}\right., \:\: t \in \mathbb{R} il suffit de remplacer dans les équations cartésiennes respectives des deux plans, x, y et z par leur expression en fonction de t, on a :
-4t-2+t+3t+2=0 et -4t-2+4t+2=0.
d est bien l'intersection de \mathcal{P}_{1} et \mathcal{P}_{2}.
c) On déduit de la représentation paramétrique précédente que \overrightarrow{u'}(-4\;;\;1\;;\;3) est un vecteur directeur la droite d.
\overrightarrow{u}(2\;;\;-1\;;\;3) est un vecteur normal au plan (\mathrm{ABC}).
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u'}=0, les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{u'} sont orthogonaux : la droite d et le plan (\mathrm{ABC}) sont donc parallèles.