Inde, avril 2013, exercice 4

Énoncé

6 points
Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe.
  • Un salarié malade est absent.
  • La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade.
  • Si la semaine n le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine n + 1 avec une probabilité égale à 0,04.
  • Si la semaine n, le salarié est malade, il reste malade la semaine n + 1 avec une probabilité égale à 0,24.
On désigne, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par E_n l'événement « le salarié est absent pour cause de maladie la n-ième semaine ». On note p_n la probabilité de l'événement E_n.
On a ainsi : p1 = 0 et, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 : 0 \leq p_n < 1.
1. 
a) Déterminez la valeur de p3 à l'aide d'un arbre de probabilité.
Utilisez l'arbre pour déduire p_3.
b) Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminez la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
Traduisez la probabilité demandée sous la forme d'une probabilité conditionnelle, puis appliquez la formule des probabilités conditionnelles.
2. 
a) Recopiez et complétez sur votre copie l'arbre de probabilité donné ci-dessous
Inde, avril 2013, exercice 4 - illustration 1
Complétez l'arbre en traduisant l'énoncé sous forme de probabilités.
b) Montrez que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, p_{n+1} = 0,2p_n + 0,04
Appuyez-vous sur l'arbre précédent ainsi que sur la formule des probabilités totales.
c) Montrez que la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par u_n = p_n − 0,05 est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison r. Vous devez en déduire l'expression de u_n puis de p_n en fonction de n et r.
Montrez qu'il existe un réel q tel que u_{n+1}=qu_n, puis utilisez la propriété du cours donnant u_n en fonction de sa raison et de son premier terme.
d) Vous devez en déduire la limite de la suite (p_n).
Appliquez la propriété qui nous dit que si q\in]-1;1[, alors \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}q^n=0.
e) 
On admet dans cette question que la suite (p_n) est croissante. On considère l'algorithme suivant :
Variables :
K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel
Initialisation :
P prend la valeur 0
J prend la valeur 1
Entrée :
Saisir la valeur de K
Traitement :
Tant que P < 0,05 − 10−K
P prend la valeur 0,2 × P + 0,04
J prend la valeur J + l
Fin tant que
Sortie :
Afficher J
À quoi correspond l'affichage final J ?
Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ?
Interprétez l'algorithme d'un point de vue mathématique.
3. 
Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à p = 0,05.
On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues.
On désigne par X la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.
a) Justifiez que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculez l'espérance mathématique μ, et l'écart type σ de la variable aléatoire X.
Recherchez les éléments de l'énoncé permettant de justifier que X suit une loi binomiale. Utilisez les formules du cours pour déduire les paramètres \mu et \sigma.
b) On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire\frac{X\,-\,\mu}{\sigma} par la loi normale centrée réduite c'est-à-dire de paramètres 0 et 1.
On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Le tableau suivant donne les probabilités de l'événement Z < x pour quelques valeurs du nombre réel x.
x
− 1,55
− 1,24
− 0,93
− 0,62
− 0,31
P(Z < x)
0,061
0,108
0,177
0,268
0,379

x
0,00
0,31
0,62
0,93
1,24
1,55
P(Z < x)
0,500
0,621
0,732
0,823
0,892
0,939

Calculez, au moyen de l'approximation proposée en question b), une valeur approchée à 10−2 près de la probabilité de l'événement : « le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 ».
Montrez que cela revient à calculer P(7\leq X\leq 15), puis utilisez votre calculatrice pour conclure.

Corrigé

1 
a) 
Inde, avril 2013, exercice 4 - illustration 2
Les événements E_2\cap E_3 et \bar{E_2}\cap E_3 forment une partition de E3. En utilisant la formule des probabilités totales et l'arbre, on obtient :
p_3=\frac{24}{100}\times\frac{4}{100}+\frac{4}{100}\times\frac{96}{100}=\frac{480}{10000}=0,048.
b) On recherche ici la probabilité de E2 sachant E3. Il suffit d'appliquer la formule des probabilités conditionnelles:
P_{E_3}(E_2)=\frac{P(E_2\cap E_3)}{P(E_3)}=\frac{\frac{4}{100}\times\frac{24}{100}}{p_3}=\frac{96}{480}=0,2.
2. 
a) 
Inde, avril 2013, exercice 4 - illustration 3
b) En utilisant la formule des probabilités totales on obtient, pour tout n\geq 1 :
p_{n+1}=P(E_{n+1}\cap E_n)+P(E_{n+1}\cap \overline{E_n})
p_{n+1}=0,24p_n+0,04(1-p_n)
p_{n+1}=0,2p_n+0,04.
c) Pour tout n\geq 1:
u_{n+1}=p_{n+1}-0,05=0,2p_n+0,04-0,05
u_{n+1}=0,2p_n-0,01=0,2(p_n-0,05).
Et donc u_{n+1}=0,2u_n ce qui prouve que la suite (u_n) est une suite géométrique de raison 0,2 et de premier terme u_0=p_0-0,05=-0,05.
Par suite, u_n=u_0\times (0,2)^n=-0,05(0,2)^n et p_n=u_n+0,05=0,05-0,05(0,2)^n.
d) Puisque 0,02\in]-1;1[, \lim\limits_{n\to+\infty%and beyond }(0,2)^n=0 et \lim\limits_{n\to+\infty}p_n=0,05.
e) Pour K fixé, la valeur de J affichée quand l'algorithme s'arrête correspond au rang du terme de la suite tel que p^J > 0,05 − 10^K.
La suite étant croissante et convergente vers 0,05, cela entraîne que pour un réel K donné, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle [0,05 − 10^K ; 0,05] ce qui provoque l'arrêt de l'algorithme.
3. 
a) L'expérience consistant à tester un salarié et à appeler succès le fait qu'il soit malade une semaine donnée, correspond à une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0,05.
Lorsqu'on teste au hasard les 220 employés, cela revient à la répétition, de façon indépendante, d'une même épreuve de Bernoulli.
X suit donc une loi binomiale de paramètres p = 0,05 et n = 220.
D'après les formules du cours, on déduit que \mu=E(X)=np=11 et \sigma=\sqrt{V(X)}=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{10,45}\approx 3,23.
b) Nous devons calculer P(7\leq X\leq 15).
P(7\leq X\leq 15)=P(X\leq 15)-P(X\leq 7)
P(7\leq X\leq 15)=P(\frac{X-\mu}{\sigma}\leq \frac{15-\mu}{\sigma})-P(\frac{X-\mu}{\sigma}\leq \frac{7-\mu}{\sigma})
P(7\leq X\leq 15)\approx P(Z\leq 1,24)-P(Z\leq -1,24)
En utilisant les données du tableau :
P(7\leq X\leq 15)\approx 0,78 à 10−2 près.