Inde, avril 2013, exercice de spécialité


Énoncé

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On étudie l'évolution dans le temps du nombre de jeunes et d'adultes dans une population d'animaux. Pour tout entier naturel n, on note j_n, le nombre d'animaux jeunes après n années d'observation et a_n le nombre d'animaux adultes après n années d'observation. Il y a au début de la première année de l'étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes. Ainsi j0 = 200 et a0 = 500.
On admet que pour tout entier naturel n on a :
\begin{cases}j_{n+1}\,=\,0,125\,j_{n}\,+\,0,525a_{n}\cr a_{n+1}\,=\,0,625\,j_{n}\,+\,0,625a_{n}\end{cases}
On introduit les matrices suivantes :
A\,=\,\left(\begin{matrix}{0,125}\quad{0,525}\cr {0,625}\quad{0,625}\end{matrix}\right) et, pour tout entier naturel n, U_{n}\,=\,\left(\begin{matrix}j_{n}\cr{a}_{n}\end{matrix}\right).
1. 
a) Montrez que pour tout entier naturel n, U_{n+1}\,=\,A{\times}U_{n}.
Effectuez le produit de A par U_n, puis utilisez la définition de a_{n+1}et de j_{n+1} donnée dans l'énoncé.
b) Calculez le nombre d'animaux jeunes et d'animaux adultes après un an d'observation puis après deux ans d'observation (résultats arrondis à l'unité près par défaut).
Calculez U_1, puis U_2 et concluez.
c) Pour tout entier naturel n non nul, exprimez U^n en fonction de A^n et de U0 .
Il s'agit d'une récurrence immédiate.
2. 
On introduit les matrices suivantes :
Q\,=\,\left(\begin{array}{cc}7&3\cr -5&5\end{array}\right) et D\,=\,\left(\begin{array}{cc}-0,25 & 0\cr 0 & 1\end{array}\right).
a) On admet que la matrice Q est inversible et que Q^{-1}\,=\,\left(\begin{array}{cc}0,1&-0,06\cr 0,1&0,14\end{array}\right).
Montrez que Q × D × Q-1 = A.
Effectuez le produit de Q par D puis par Q^{-1}, à la main ou à la calculatrice, et vous devez trouver A.
b) Montrez par récurrence sur n que pour tout entier naturel n non nul : A^n = Q × D^n × Q−1.
Pour la démonstration par récurrence, l'hérédité se prouve en utilisant l'égalité prouvée au 2. a).
c) Pour tout entier naturel n non nul, déterminez D^n en fonction de n.
Vous obtiendrez la puissance n d'une matrice diagonale D en élevant à la puissance n les éléments diagonaux de D.
3. 
On admet que pour tout entier naturel n non nul,
{\small A^{n}\,=\,\left(\begin{array}{cc}0,3+0,7\times(-0,25)^{n}&0,42-0,42\times(-0,25)^{n}\cr 0,5-0,5\times(-0,25)^{n}&0,7+0,3\times(-0,25)^{n}\end{array}\right)}
a)  Vous devez en déduire les expressions de j_n et a_n en fonction de n, puis déterminez les limites de ces deux suites.
Utilisez l'égalité établie au 1. c) ainsi que l'expression de A^n donnée dans l'énoncé pour déduire a_n et j_n en fonction de n. Ensuite, utilisez la propriété du cours donnant la limite de^nselon les valeurs de q.
b) Que peut-on en conclure pour la population d'animaux étudiée ?
Les limites trouvées au 3. a) correspondent aux valeurs de stabilisation de a_n et j_n.

Annexes

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