Inde, avril 2013, exercice de spécialité

Énoncé

5 points
On étudie l'évolution dans le temps du nombre de jeunes et d'adultes dans une population d'animaux. Pour tout entier naturel n, on note j_n, le nombre d'animaux jeunes après n années d'observation et a_n le nombre d'animaux adultes après n années d'observation. Il y a au début de la première année de l'étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes. Ainsi j0 = 200 et a0 = 500.
On admet que pour tout entier naturel n on a :
\begin{cases}j_{n+1}\,=\,0,125\,j_{n}\,+\,0,525a_{n}\cr a_{n+1}\,=\,0,625\,j_{n}\,+\,0,625a_{n}\end{cases}
On introduit les matrices suivantes :
A\,=\,\left(\begin{matrix}{0,125}\quad{0,525}\cr {0,625}\quad{0,625}\end{matrix}\right) et, pour tout entier naturel n, U_{n}\,=\,\left(\begin{matrix}j_{n}\cr{a}_{n}\end{matrix}\right).
1. 
a) Montrez que pour tout entier naturel n, U_{n+1}\,=\,A{\times}U_{n}.
Effectuez le produit de A par U_n, puis utilisez la définition de a_{n+1}et de j_{n+1} donnée dans l'énoncé.
b) Calculez le nombre d'animaux jeunes et d'animaux adultes après un an d'observation puis après deux ans d'observation (résultats arrondis à l'unité près par défaut).
Calculez U_1, puis U_2 et concluez.
c) Pour tout entier naturel n non nul, exprimez U^n en fonction de A^n et de U0 .
Il s'agit d'une récurrence immédiate.
2. 
On introduit les matrices suivantes :
Q\,=\,\left(\begin{array}{cc}7&3\cr -5&5\end{array}\right) et D\,=\,\left(\begin{array}{cc}-0,25 & 0\cr 0 & 1\end{array}\right).
a) On admet que la matrice Q est inversible et que Q^{-1}\,=\,\left(\begin{array}{cc}0,1&-0,06\cr 0,1&0,14\end{array}\right).
Montrez que Q × D × Q-1 = A.
Effectuez le produit de Q par D puis par Q^{-1}, à la main ou à la calculatrice, et vous devez trouver A.
b) Montrez par récurrence sur n que pour tout entier naturel n non nul : A^n = Q × D^n × Q−1.
Pour la démonstration par récurrence, l'hérédité se prouve en utilisant l'égalité prouvée au 2. a).
c) Pour tout entier naturel n non nul, déterminez D^n en fonction de n.
Vous obtiendrez la puissance n d'une matrice diagonale D en élevant à la puissance n les éléments diagonaux de D.
3. 
On admet que pour tout entier naturel n non nul,
{\small A^{n}\,=\,\left(\begin{array}{cc}0,3+0,7\times(-0,25)^{n}&0,42-0,42\times(-0,25)^{n}\cr 0,5-0,5\times(-0,25)^{n}&0,7+0,3\times(-0,25)^{n}\end{array}\right)}
a)  Vous devez en déduire les expressions de j_n et a_n en fonction de n, puis déterminez les limites de ces deux suites.
Utilisez l'égalité établie au 1. c) ainsi que l'expression de A^n donnée dans l'énoncé pour déduire a_n et j_n en fonction de n. Ensuite, utilisez la propriété du cours donnant la limite de^nselon les valeurs de q.
b) Que peut-on en conclure pour la population d'animaux étudiée ?
Les limites trouvées au 3. a) correspondent aux valeurs de stabilisation de a_n et j_n.

Corrigé

1. 
a) A\times U_n= \left(\begin{array}{cc} 0,125&0,525 \\ 0,625&0,625 \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} j_n \\ a_n \end{array}\right)
A\times U_n=\left(\begin{array}{cc} 0,125j_n+0,525a_n \\ 0,625j_n+0,625a_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} j_{n+1} \\ a_{n+1} \end{array}\right).
Soit finalement, A\times U_n=U_{n+1}.
b) U_1=A\times U_0= \left(\begin{array}{cc} 0,125&0,525 \\ 0,625&0,625 \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} 200 \\ 500 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 287,5 \\ 437,5 \end{array}\right).
Après un an d'observation, on a 287 animaux jeunes et 437 animaux adultes, quantités arrondies à l'unité près par défaut.
De même :
U_2=A\times U_1= \left(\begin{array}{cc} 0,125&0,525 \\ 0,625&0,625 \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} 287,5 \\ 437,5 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 265,625 \\ 453,125 \end{array}\right).
Après deux ans d'observation, on a 265 animaux jeunes et 453 animaux adultes, quantités arrondies à l'unité près par défaut.
c) Démontrons par récurrence la propriété P(n) : U_n=A^n\times U_0.
Initialisation : U_0=I\times U_0, car A0 = I par définition. P(0) est vraie.
Hérédité : supposons que U_n=A^n\times U_0 et montrons alors que U_{n+1}=A^{n+1}\times U_0.
U_{n+1}=A\times U_n=A\times A^n\times U_0, soit U_{n+1}=A^{n+1}\times U_0, la propriété est alors vraie au rang n + 1. D'après le principe de récurrence, on peut en déduire que P(n) est vraie pour tout entier n.
2. 
a) Il suffit d'effectuer le produit à la calculatrice pour vérifier que :
Q\times D\times Q^{-1}=A.
b) Démontrons par récurrence la propriété R(n) : Q\times D^n\times Q^{-1}=A^n.
Initialisation : d'après la question 2. a), Q\times D\times Q^{-1}=A. La propriété R(1) est vraie.
Hérédité : pour n entier naturel non nul, supposons que R(n) est vraie et montrons alors que R(n+1) est vraie.
A^{n+1}=A\times A^n
A^{n+1}=Q\times D\times Q^{-1}\times Q\times D^n\times Q^{-1}
A^{n+1}=Q\times D^{n+1}\times Q^{-1}.
La propriété R est vraie au rang n+1. D'après le principe de récurrence, on peut en déduire que R(n) est vraie pour tout entier n non nul.
c) La matrice D étant diagonale :
D^n=\left(\begin{array}{cc} (-0,25)^n&0 \\ 0&1 \end{array}\right).
3. 
a) Puisque U_n=A^nU_0,
U_n=\left(\begin{array}{cc} 0,3+0,7\times (-0,25)^n&0,42-0,42\times (-0,25)^n \\ 0,5-0,5\times (-0,25)^n&0,7+0,3\times (-0,25)^n \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} 200 \\ 500 \end{array}\right)
U_n=\left(\begin{array}{c} 270-70\times (-0,25)^n \\ 450+50\times (-0,25)^n \end{array}\right).
D'où j_n= 270-70\times (-0,25)^n et a_n=450+50\times (-0,25)^n.
Puisque -0,25\in]-1;1[, \lim\limits_{n\to +\infty}(-0,25)^n=0.
D'où \lim\limits_{n\to +\infty}U_n=\left(\begin{array}{c} 270 \\ 450 \end{array}\right).
b) La population se stabilisera avec 270 jeunes et 450 adultes.