Liban, mai 2013, exercice de spécialité

Énoncé

On considère la suite (un) définie par u0 = 3, u1 = 8 et, pour tout n supérieur ou égal à 0 :
u_{n+2}\,=\,5u_{n+1}\,-\,6u_{n}.
1 Calculer u2 et u3
2 
Pour tout entier naturel n \geqslant 2, on souhaite calculer un à l'aide de l'algorithme suivant :
Variables :
a, b et c sont des nombres réels

i et n sont des nombres entiers naturels supérieurs ou égaux à 2
Initialisation :
a prend la valeur 3

b prend la valeur 8
Traitement :
Saisir n

Pour i variant de 2 à n faire

  c prend la valeur a

  a prend la valeur b

  b prend la valeur…

Fin Pour
Sortie :
Afficher b

a) Recopier la ligne de cet algorithme comportant des pointillés et les compléter.
On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant :
n
7
8
9
10
11
12
13
14
15
un
4 502
13 378
39 878
119 122
356 342
1 066 978
3 196 838
9 582 322
28 730 582

b) Quelle conjecture peut-on émettre concernant la monotonie de la suite (un) ?
3 Pour tout entier naturel n, on note Cn la matrice colonne \left(\begin{matrix}u_{n+1}\cr{u_{n}}\end{matrix}\right).
On note A la matrice carrée d'ordre 2 telle que, pour tout entier naturel n, C_{n+1}\,=\,AC_{n}.
Déterminer A et prouver que, pour tout entier naturel n, Cn = AnC0.
4 Soient P\,=\,\left(\begin{matrix}2\,\,\,\,3\cr1\,\,\,\,1\end{matrix}\right), D\,=\,\left(\begin{matrix}2\,\,\,\,0\cr0\,\,\,\,3\end{matrix}\right) et Q\,=\,\left(\begin{matrix}-1\,\,\,\,3\cr1\,\,\,\,-2\end{matrix}\right).
Calculer QP.
On admet que A = PDQ.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n, An = PDnQ.
5 À l'aide des questions précédentes, on peut établir le résultat suivant, que l'on admet.
Pour tout entier naturel non nul n, A^{n}\,=\,\left(\begin{matrix}-2^{n+1}\,+\,3^{n+1}\,\hfill\,3\,\times\,2^{n+1}\,-\,2\,\times\,3^{n+1}\cr -2^{n}\,+\,3^{n}\,\hfill\,3\,\times\,2^{n}\,-\,2\,\times\,3^{n}\end{matrix}\right).
En déduire une expression de un en fonction de n.
La suite (un) a-t-elle une limite ?

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances

Thèmes du programme
Suites, relation de récurrence, algorithme, matrices.
Asymptote
Récurrence
Nos conseils
1 Utiliser la relation de récurrence ainsi que les valeurs de u0 et u1.
2 
a) S'appuyer sur la définition de un pour compléter l'algorithme.
b) Il suffit d'observer le tableau et de connaître la définition d'une suite croissante ou décroissante.
3 On déduit la matrice A de la relation de récurrence donnée dans l'énoncé de l'exercice.
4 La valeur trouvée pour QP sera utile pour l'hérédité de la démonstration suivante par récurrence.
Le fait admis que A = PDQ servira pour l'initialisation de la démonstration suivante par récurrence.
5 Utiliser la relation entre Cn et An prouvée au 3.

Corrigé

1 u2 = 5u1 − 6u0 = 40 − 18 = 22.
u3 = 5u2 − 6u1 = 110 − 48 = 62.
2 
a) b prend la valeur 5a − 6c.
b) La suite semble être croissante mais non majorée donc non convergente.
3 Par identification on obtient :
A=\left(\begin{array}{cc} 5 & -6 \\ 1 & 0 \end{array}\right).
Prouvons par récurrence que pour tout entier n, P(n) : C_n = A^nC_0 est vraie.
P(0) est vraie car A0 est la matrice identité.
Soit un entier k, supposons P(k) vraie. On a alors C_{k+1} = AC_k, or C_k = A^kC_0, d'où C_{k+1} = A\times A^kC_0=A^{k+1}C_0. La propriété P(k+1) est vraie.
D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, on a C_n=A^nC_0.
4 QP=\left(\begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 1 & -2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{array}\right)
QP= \left(\begin{array}{cc} -2+3 & -3+3 \\ 2-2 & 3-2 \end{array}\right)
QP= \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right).
Démontrons par récurrence que la propriété Q(n) : A^n=PD^nQ est vraie pour tout entier naturel n non nul.
Q(1) est vraie car cela est admis dans l'énoncé.
Supposons que A^n=PD^nQ, alors :
A^{n+1}=A^n\times A=PD^nQ(PDQ)
A^{n+1}=PD^n(QP)DQ
A^{n+1}=PD^nDQ=PD^{n+1}Q.
D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n non nul, on a A^n=PD^nQ.
5 Puisque C_n=A^nC_0, un est la seconde composante de C_n soit :
u_n=8(-2^n+3^n)+3(3\times 2^n-2\times 3^n)
u_n=-8\times 2^n+8\times 3^n+9\times 2^n-6\times 3^n
u_n=2^n+2\times 3^n.
2 > 1 et 3 > 1, les deux suites de terme général 2^n et 3^n ont donc pour limite +\infty, la suite (u_n) n'a donc pas de limite finie, mais a une limite infinie.