Liban, mai 2013, exercice 2

Énoncé

L'entreprise Fructidoux fabrique des compotes qu'elle conditionne en petits pots de 50 grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination « compote allégée ». La législation impose alors que la teneur en sucre, c'est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme.
L'entreprise possède deux chaînes de fabrication F1 et F2.
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Partie A
La chaîne de production F2 semble plus fiable que la chaîne de production F1. Elle est cependant moins rapide.
Ainsi, dans la production totale, 70 % des petits pots proviennent de la chaîne F1 et 30 % de la chaîne F2.
La chaîne F1 produit 5 % de compotes non conformes et la chaîne F2 en produit 1 %.
On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les événements :
  • E : « Le petit pot provient de la chaîne F2 » ;
  • C : « Le petit pot est conforme ».
1 Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.
2 Calculer la probabilité de l'événement : « Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production F1. »
3 Déterminer la probabilité de l'événement C.
4 Déterminer, à 10−3 près, la probabilité de l'événement E sachant que l'événement C est réalisé.
Partie B

1 On note X la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F1, associe sa teneur en sucre.
On suppose que X suit la loi normale d'espérance m1 = 0, 17 et d'écart type σ1 = 0,006.
Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous.
α
β
P(\alpha\,\leqslant\,X\,\leqslant\,\beta)
0,13
0,15
0,000 4
0,14
0,16
0,047 8
0,15
0,17
0,499 6
0,16
0,18
0,904 4
0,17
0,19
0,499 6
0,18
0,20
0,047 8
0,19
0,21
0,000 4

Donner une valeur approchée à 10−4 près de la probabilité qu'un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F1 soit conforme.
2 
On note Y la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F2, associe sa teneur en sucre.
On suppose que Y suit la loi normale d'espérance m2 = 0,17 et d'écart type σ2.
On suppose de plus que la probabilité qu'un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F2 soit conforme est égale à 0,99.
Soit Z la variable aléatoire définie par :
Z\,=\,\frac{Y\,-\,m_{2}}{\sigma_{2}}.
a) Quelle loi la variable aléatoire Z suit-elle?
b) Déterminer, en fonction de σ2 l'intervalle auquel appartient Z lorsque Y appartient à l'intervalle [0,16 ; 0,18].
c) En déduire une valeur approchée à 10−3près de σ2.
On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequel la variable aléatoire Z suit la loi normale d'espérance 0 et d'écart type 1.
β
P(-\,\beta\,\leqslant\,Z\,\leqslant\,\beta)
2,432 4
0,985
2,457 3
0,986
2,483 8
0,987
2,512 1
0,988
2,542 7
0,989
2,575 8
0,990
2,612 1
0,991
2,652 1
0,992
2,696 8
0,993

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances

Thèmes du programme
Probabilités conditionnelles ; probabilités totales ; loi normale centrée réduite.
Arbre pondéré
Probabilités conditionnelles
Probabilités totales
Loi normale centrée réduite
Nos conseils

Partie A
1 Traduire les données de l'exercice en probabilités et les placer dans l'arbre en commençant par le choix de la chaîne de fabrication.
2 Appliquer la formule des probabilités conditionnelles.
3 Appliquer la formule des probabilités totales en trouvant une partition de C.
4 Traduire la probabilité recherchée à l'aide des événements préalablement définis puis appliquer la formule des probabilités conditionnelles.
Partie B
1 Traduire la probabilité recherchée à l'aide de la variable aléatoire définie, puis utiliser la table.
2 
a) Appliquer votre cours sur la loi normale.
b) Déduire l'encadrement recherché à partir de l'encadrement donné.
c) Chercher dans le tableau la valeur de β qui correspond à une probabilité de 0,99. Puis résoudre une équation pour calculer σ2.

Corrigé

Partie A
1 
Exercice 2 - illustration 1
2 La probabilité recherchée est P(C\cap\overline{E}).
En appliquant la formule des probabilités conditionnelles on en déduit donc que :
P(C\cap\overline{E})= P_{\overline{E}}(C)\times P\left(\overline{E}\right)
P(C\cap\overline{E}) = 0,95 × 0,7 = 0,665.
3 Les événements C \cap E et \bar{C}\cap E forment une partition de C. D'après la formule des probabilités totales :
P(C) =P\left(C\cap \overline{E}\right) + P(C\cap E)
P(C) = 0,665 + 0,99 × 0,3 = 0,962.
4 La probabilité recherchée est P_C(E). En appliquant la formule des probabilités conditionnelles on en déduit donc que :
P_C(E) = \frac{P(E\cap C)}{P(C)}=\frac{0,99\times 0,3}{0,962}
P_C(E) \approx 0,309 à 10−3 près.
Partie B
1 D'après l'énoncé, la probabilité qu'un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F1 soit conforme est égale à :
P(0,16\leq X\leq 0,18).
On lit dans la table :
P(0,16\leq X\leq 0,18) = 0,9044.
2 
a) D'après le cours, Y suit une loi normale centrée réduite.
b) Si 0,16\leq Y \leq 0,18 alors :
\frac{0,16 - 0,17}{\sigma_2} \leq \frac{Y - 0,17}{\sigma_2}\leq \frac{0,18 - 0,17}{\sigma_2}
et -\frac{0,01}{\sigma_2}\leq Z \leq \frac{0,01}{\sigma_2}.
c) On doit avoir P(-\frac{0,01}{\sigma_2}\leq Z \leq \frac{0,01}{\sigma_2}) = 0,99.
En utilisant le tableau, on lit :
\beta =\frac{0,01}{\sigma_2}= 2,5758
d'où \sigma_2=\frac{0,01}{2,5758}\approx 0,00385.
Finalement, à 10−3 près, \sigma \approx 0,004.