Sujet national, juin 2011, exercice 4

Énoncé

L'espace est muni d'un repère orthonormal (\mathrm{O}\,;\,\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k}).
Partie A
On désigne par \mathcal{P} le plan d'équation ax + by + cz + d = 0 et par \mathrm{M}_{0} le point de coordonnées (x_{0}\,;\,y_{0}\,;\,z_{0}). On appelle H le projeté orthogonal du point \mathrm{M}_{0} sur le plan \mathcal{P}.
On suppose connue la propriété suivante.
Propriété : Le vecteur \vec{n} = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k} est un vecteur normal au plan \mathcal{P}.
Le but de cette partie est de démontrer que la distance d(\mathrm{M}_{0},\,\mathcal{P}) du point \mathrm{M}_{0} au plan \mathcal{P}, c'est-à-dire la distance \mathrm{M}_{0}\mathrm{H}, est telle que : d(\mathrm{M}_{0}, \mathcal{P}) = \frac{| ax_{0} + by_{0} + cz_{0} + d| }{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}.
1 Justifier que | \vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{M}_{0}\mathrm{H}}| = \mathrm{M}_{0}\mathrm{H}\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.
2 Démontrer que \vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{M}_{0}\mathrm{H}} = -ax_{0} - by_{0} - cz_{0} - d.
3 Conclure.
Partie B
On désigne par A, B, C et F les points de coordonnées respectives (4 ; 1 ; 5), (−3 ; 2 ; 0), (1 ; 3 ; 6) et (−7 ; 0 ; 4).
1 
a) Démontrer que les points A, B et C définissent un plan \mathcal{P} et que ce plan a pour équation cartésienne x + 2y - z - 1 = 0.
b) Déterminer la distance d du point F au plan \mathcal{P}.
2 
Le but de cette question est de calculer la distance d par une autre méthode.
On appelle \Delta la droite qui passe par le point F et qui est perpendiculaire au plan \mathcal{P}.
a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \Delta.
b) Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point F sur le plan \mathcal{P}.
c) Retrouver le résultat de la question 1. b).
3 
Soit \mathcal{S} la sphère de centre F et de rayon 6.
a) Justifier que le point B appartient à la sphère \mathcal{S}.
b) Préciser le centre et déterminer le rayon du cercle \mathcal{C}, intersection de la sphère \mathcal{S} et du plan \mathcal{P}.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances

Thèmes du programme
Produit scalaire dans l'espace, représentation paramétrique d'une droite, définition d'une sphère, équation cartésienne d'un plan, théorème de Pythagore.
Produit scalaire
Vecteur normal
Équation cartésienne
Sphère
Nos conseils

Partie A
1 Se rappeler que :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=| | \overrightarrow{u}| | \cdot| | \overrightarrow{v}| | \times\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}).
Traduire le fait que si les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires alors | \cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})| =1. D'où le résultat demandé.
2 Après avoir utilisé au 1. la définition du produit scalaire avec le cosinus, on utilise ici la définition analytique du produit scalaire : si \overrightarrow{u}(x\;;\;y\;;\;z) et \overrightarrow{v}(x'\;;\;y'\;;\;z') alors : \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'.
Ensuite utiliser le fait qu'un point M appartient à un plan si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
3 On utilise les résultats du 1. et du 2. pout exprimer M0H.
partie B
1 
a) Méthode classique : on démontre d'abord qu'il existe deux vecteurs constitués des trois points qui sont non colinéaires ce qui entraîne que A, B et C forment un plan. Puis on vérifie que les coordonnées de chacun des points A, B et C vérifient l'équation cartésienne donnée dans l'énoncé.
b) Utiliser le résultat de la partie A.
2 
a) Une représentation paramétrique d'une droite est déterminée dès que l'on connaît un point de la droite ainsi qu'un de ses vecteurs directeurs.
Or, la droite \Delta étant perpendiculaire au plan, un vecteur normal de ce plan est donc un vecteur directeur de \Delta.
b) Le point recherché appartient à \Delta et à \mathcal{P}, il s'agit donc du point d'intersection de \Delta et \mathcal{P}.
Pour déterminer H, on remplace dans l'équation cartésienne de \mathcal{P}, x, y et z en fonction du paramètre t. On en déduit les coordonnées de H.
c) La distance recherchée est FH, or nous savons d'après le cours que dans l'espace, pour les points A(x ; y ; z) et B(x' ;   ;  ) alors \textrm{AB}=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}.
3 
a) Rappel sur la sphère : dire qu'un point M appartient à une sphère de centre O et de rayon R, cela signifie, par définition de la sphère, que OM = R. Ici, il suffit de calculer la distance BF.
b) Cette question exige une approche géométrique: faire un dessin à main levée pour bien visualiser le plan \mathcal{P} coupant la sphère de centre F.

Corrigé

Partie A
1 Les vecteurs \vec{n} et \overrightarrow{\mathrm{M}_{0}\mathrm{H}} sont colinéaires donc :
\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{M}_{0}\mathrm{H}}=\pm \mid\vec{n}\mid\times \mid\overrightarrow{\mathrm{M}_{0}\mathrm{H}}\mid,
d'où | \vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{M}_{0}\mathrm{H}}| =\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\times \mathrm{M}_{0}\mathrm{H}.
2 On a \vec{n}(a\,;\,b\,;\,c) et \overrightarrow{\mathrm{M}_{0}\mathrm{H}}(x_{\mathrm{H}}-x_{0}\,;\,y_{\mathrm{H}}-y_{0}\,;\,z_{\mathrm{H}}-z_{0}), d'où :
\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{M}_{0}\mathrm{H}}=a(x_{\mathrm{H}}-x_{0})+b(y_{\mathrm{H}}-y_{0})+c(z_{\mathrm{H}}-z_{0})
\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{M}_{0}\mathrm{H}}=ax_{\mathrm{H}}+by_{\mathrm{H}}+cz_{\mathrm{H}}-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).
Or \mathrm{H}\in\mathcal{P} donc ax_{\mathrm{H}}+by_{\mathrm{H}}+cz_{\mathrm{H}}+d=0.
Donc \vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{M}_{0}\mathrm{H}}=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d).
3 D'après les deux questions précédentes on a :
\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\times \mathrm{M}_{0}\mathrm{H}=| -(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d)| ,
d'où \mathrm{M}_{0}\mathrm{H}=\frac{| ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d| }{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
Donc d(\mathrm{M}_{0}, \,\mathcal{P})=\frac{| ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d| }{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
Partie B
1 
a) On a \overrightarrow{\mathrm{AB}}(-7\,;\,1\,;\,-5) et \overrightarrow{\mathrm{AC}}(-3\,;\,2\,;\,1).
Comme \frac{-7}{-3} \ne \frac{1}{2}, ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C définissent un plan \mathcal{P}.
On considère l'équation : x+2y-z-1=0.
Les coordonnées du point A vérifient cette équation, en effet :
4+2\times 1-5-1=0.
De même pour les points B et C.
Donc une équation du plan \mathcal{P} est : x+2y-z-1=0
b) D'après la partie A, on sait que :
d(\mathrm{F},\,\mathcal{P})=\frac{| ax_{\mathrm{F}}+by_{\mathrm{F}}+cz_{\mathrm{F}}+d| }{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
D'où d(\mathrm{F},\,\mathcal{P})=\frac{| x_{\mathrm{F}}+2y_{\mathrm{F}}-z_{\mathrm{F}}-1| }{\sqrt{1+4+1}},
soit d(\mathrm{F},\,\mathcal{P})=\frac{12}{\sqrt{6}}=2\sqrt{6}.
2 
a) Un vecteur normal au plan \mathcal{P} a pour coordonnées (1 ; 2 ; −1), c'est un vecteur directeur de la droite \Delta.
Le point F appartient à la droite \Delta, ses coordonnées doivent donc vérifier l'équation de \Delta.
Soit t un nombre réel, une représentation paramétrique de la droite \Delta est donc :
\left\{\begin{array}{l}x=x_{\mathrm{F}}+1\times t\\y=y_{\mathrm{F}}+2\times t\\z=z_{\mathrm{F}}+(-1)\times t\end{array}\right.
Soit :
\left\{\begin{array}{l}x=-7+t\\y=0+2t\\z=4-t\end{array}\right.
b) 
Le point H appartient à la droite \Delta et au plan \mathcal{P}.
Les coordonnées du point H doivent donc vérifier les deux équations.
On remplace respectivement x, y et z dans l'équation de \mathcal{P} par -7 + t, 2t et 4 - t ; on obtient :
-7 + t + 2 \times 2t -(4 - t)-1 = 0.
Soit t = 2.
Donc H a pour coordonnées (−5 ; 4 ; 2).
c) La distance entre le point F et le plan \mathcal{P} est égale à FH.
On a \mathrm{FH}=\sqrt{(x_{\mathrm{H}}-x_{\mathrm{F}})^{2}+(y_{\mathrm{H}}-y_{\mathrm{F}})^{2}+(z_{\mathrm{H}}-z_{\mathrm{F}})^{2}},
d'où \mathrm{FH}=\sqrt{2^{2}+4^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}.
3 
a) On a \mathrm{BF}=\sqrt{(x_{\mathrm{F}}-x_{\mathrm{B}})^{2}+(y_{\mathrm{F}}-y_{\mathrm{B}})^{2}+(z_{\mathrm{F}}-z_{\mathrm{B}})^{2}},
soit BF = 6, donc le point B appartient à la sphère de centre F et de rayon 6.
b) Le centre du cercle est le point H.
Le rayon est égal à HB avec \mathrm{HB}=2\sqrt{3}.