Sujet national, juin 2011, exercice 4

Énoncé

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on désigne par f_{n} la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f_{n}(x) = x^{n}\mathrm{e}^{-x}.
On note \mathcal{C}_{n} sa courbe représentative dans un repère orthogonal (\mathrm{O}\,;\, \vec{i}, \vec{j}) du plan.
Partie A
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbe \mathcal{C}_{k}k est un entier naturel non nul, sa tangente T_{k} au point d'abscisse 1 et la courbe \mathcal{C}_{3}.
La droite T_{k} coupe l'axe des abscisses au point A de coordonnées \left(\frac{4}{5}\,;\,0\right).
Sujet national, juin 2011, spécialité, exercice 4 - illustration 1
1 
a) Déterminer les limites de la fonction f_{1} en -\infty et en +\infty.
b) Étudier les variations de la fonction f_{1} et dresser le tableau de variations de f_{1}.
c) À l'aide du graphique, justifier que k est un entier supérieur ou égal à 2.
2 
a) Démontrer que pour n\,\geq\,1, toutes les courbes \mathcal{C}_{n} passent par le point O et un autre point dont on donnera les coordonnées.
b) Vérifier que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, et pour tout réel x :
f'_{n}(x) = x^{n - 1}(n - x)\mathrm{e}^{-x}.
3 Sur le graphique, la fonction f_{3} semble admettre un maximum atteint pour x = 3.
Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration.
4 
a) Démontrer que la droite T_{k} coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées \left(\frac{k-2}{k-1}\,;\,0\right).
b) En déduire, à l'aide des données de l'énoncé, la valeur de l'entier k.
Partie B
On désigne par (I_{n}) la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par I_{n} = \int^{1}_{0}\,x^{n}\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x.
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions des courbes \mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2}, \mathcal{C}_{3}, \mathcal{C}_{10}, \mathcal{C}_{20} et \mathcal{C}_{30} comprises dans la bande définie par 0 \leq x \leq 1.
Sujet national, juin 2011, spécialité, exercice 4 - illustration 2
1 Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (I_{n}) en décrivant sa démarche.
2 Démontrer cette conjecture.
3 En déduire que la suite (I_{n}) est convergente.
4 Déterminer \mathop {\lim}\limits_{n \to+\infty }\,I_{n}.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances

Thèmes du programme
Fonction exponentielle, lever une indétermination, dérivées, primitive, lien entre aire et intégrale, propriétés de l'intégrale, variation d'une suite, propriété de convergence d'une suite, théorème des gendarmes.
Fonction exponentielle
Dérivée
Primitive
Suite
Intégrale
Théorème de convergence monotone
Nos conseils

Partie A
1 
a) Les fonctions f_n constituent une famille de fonctions dépendant de l'entier naturel n\geq 1.
Pour déterminer la fonction f_1, il suffit de remplacer n par 1 dans l'expression de f_n.
Pour déterminer la limite en -\infty, ne pas oublier de faire un changement de variable u=-x. En +\infty, on est confronté à une forme indéterminée et pour lever l'indétermination, on utilise une limite de référence.
b) Justifier pourquoi la fonction f_1 est dérivable. Pour le calcul de la dérivée, utiliser la formule de la dérivée du produit de deux fonctions.
c) Remarquer que k est non nul. La recherche précédente sur les limites nous a permis de constater que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe C_1 en +\infty ce qui n'est manifestement pas le cas pour C_k.
2 
a) Pour montrer que toute les courbes \mathcal{C}_n passent par O, on utilise la propriété qu'un point M(x ; y\in \mathcal{C}_f si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation y=f(x).
b) Comme précédemment, utiliser la formule de la dérivée du produit de deux fonctions.
3 Penser à utiliser le résultat du 2. b). Pour étudier le signe de la dérivée f'_3, remarquer que l'exponentielle est toujours positive.
4 
a) Pour rechercher l'intersection entre deux courbes la méthode est toujours la même : un point appartient à deux courbes si ses coordonnées vérifient simultanément les deux équations des courbes.
b) Bien lire l'énoncé dans lequel sont précisées justement les coordonnées de ce point.
Partie B
1 I_n correspond à l'aire du domaine \mathcal{D} : \left\{\begin{array}{l}0\leq x\leq 1 \\0\leq y\leq f(x)\end{array}\right..
2 Montrer que I_{n+1}-I_n est négatif.
Pour cela, appliquer la propriété de linéarité de l'intégrale : f et g étant continues sur un intervalle [a ; b], alors \int_a^bf(x)\mathrm{d}x+\int_a^bg(x)\mathrm{d}x=\int_a^b\left(f(x)+g(x)\right)\mathrm{d}x et pour tout réel λ, \lambda\int_a^bf(x)dx=\int_a^b\lambda f(x)\mathrm{d}x.
3 On applique la propriété de convergence d'une suite monotone bornée.
4 Penser à majorer une intégrale positive par une expression tendant vers 0 en +\infty afin d'appliquer le théorème des gendarmes.

Corrigé

Partie A
1 
Pour tout réel x, on a f_{1}(x)=x\mathrm{e}^{-x}.
a) Lorsque x\to -\infty, on a \mathrm{e}^{-x}\to +\infty.
Donc \displaystyle \lim_{x\to-\infty}f_{1}(x)=-\infty.
On sait que \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}=+\infty, d'où \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}=0.
Donc \displaystyle \lim_{x\to+\infty}f_{1}(x)=0.
b) 
La fonction f1 est dérivable sur \mathbb{R} comme produit de fonctions dérivables.
f1 est de la forme uv, sa dérivée f'1 sera de la forme u'v + uv', avec pour tout réel x :
u(x) = x d'où u'(x) = 1,
et v(x)=\mathrm{e}^{-x} d'où v'(x)=-\mathrm{e}^{-x}.
Donc f'_{1}(x)=1\times \mathrm{e}^{-x}+x\times (-\mathrm{e}^{-x})=(1-x)\mathrm{e}^{-x}.
Sujet national, juin 2011, spécialité, exercice 4 - illustration 3
c) D'après l'énoncé, on sait que k est un nombre entier non nul.
On a vu à la question 1. a) que \displaystyle \lim_{x\to+\infty}f_{1}(x)=0.
D'après le graphique de l'énoncé \displaystyle \lim_{x\to+\infty}f_{k}(x)\ne 0.
Donc k est un entier supérieur ou égal à 2.
2 
a) Pour tout entier n non nul on a :
f_{n}(0)=0^{n}\mathrm{e}^{-0}=0
f_{n}(1)=1^{n}\mathrm{e}^{-1}=\mathrm{e}^{-1}
Donc toutes les courbes \mathcal{C}_{n} passent par le point O et le point de coordonnées (1\,;\,\mathrm{e}^{-1}).
b) Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, la fonction fn est dérivable sur \mathbb{R} comme produit de fonctions dérivables.
fn est de la forme uv, sa dérivée f'n sera de la forme u'v + uv', avec pour tout réel x :
u(x) = x^{n} d'où u'(x) = nx^{n-1}.
v(x)=\mathrm{e}^{-x} d'où v'(x)=-\mathrm{e}^{-x}.
Donc f'_{n}(x)=nx^{n-1}\times \mathrm{e}^{-x}+x^{n}\times (-\mathrm{e}^{-x}),
d'où f'_{n}(x)=x^{n-1}(n-x)\mathrm{e}^{-x}.
3 En utilisant le résultat de la question précédente, on a :
f'_{3}(x)=x^{2}(3-x)\mathrm{e}^{-x}.
La fonction f'_{3} s'annule en changeant de signe uniquement pour x = 3, lorsque x > 3, elle est négative et pour x < 3 elle est positive. Donc la fonction f3 atteint son maximum lorsque x = 3.
4 
a) Par définition, l'équation de la tangente Tk au point d'abscisse 1 est :
y=f'_{k}(1)(x-1)+f_{k}(1).
On a f_{k}(1)=\mathrm{e}^{-1}=\frac{1}{\mathrm{e}},
et f'_{k}(1)=1^{k-1}(k-1)\mathrm{e}^{-1}=\frac{k-1}{\mathrm{e}}.
L'équation de la tangente Tk au point d'abscisse 1 est donc :
y=\frac{k-1}{\mathrm{e}}(x-1)+\frac{1}{\mathrm{e}}.
La droite Tk coupe l'axe des abscisses lorsque y = 0.
Pour y = 0 on a 0=\frac{k-1}{\mathrm{e}}(x-1)+\frac{1}{\mathrm{e}}, soit :
(k-1)(x-1)+1=0
\Leftrightarrow (k-1)x-k+2=0
\Leftrightarrow x=\frac{k-2}{k-1}.
Donc la droite Tk coupe l'axe des abscisses au point \left(\frac{k-2}{k-1}\,;\,0\right).
b) D'après l'énoncé on sait que la droite Tk coupe l'axe des abscisses au point \mathrm{A}(\frac{4}{5}\,;\,0).
On a donc : \frac{k-2}{k-1}=\frac{4}{5}
\Leftrightarrow 5(k-2)=4(k-1)
\Leftrightarrow 5k-10=4k-4
\Leftrightarrow k=6.
Partie B
1 La suite (In) semble décroître puisque l'aire du domaine compris entre les droites d'équations x = 0 et x = 1 et la courbe \mathcal{C}_k semble diminuer.
2 I_{n+1}-I_n =\int_0^1x^{n+1}\mathrm{e}^{-x}dx-\int_0^1x^n\mathrm{e}^{-x}dx.
On en déduit grâce à la linéarité de l'intégrale que I_{n+1}-I_n =\int_0^1\left(x^{n+1}-x^n\right)\mathrm{e}^{-x}dx.
Or x^{n+1}-x^n=x^n(x-1) et pour 0\leq x\leq 1 on a x^n\geq 0, x-1\leq 0 et \mathrm{e}^{-x}>0 donc (x^{n+1}-x^n)\mathrm{e}^{-x}\leq 0. Par propriété de positivité de l'intégrale, on obient, I_{n+1}-I_n\leq 0.
Donc la suite (In) est décroissante.
3 Sur l'intervalle [0 ; 1], la fonction fn est positive donc, pour tout entier n, on a 0\le I_{n}.
La suite (In) est décroissante et minorée par 0, elle est donc convergente vers une limite.
4 On considère la fonction h définie sur [0 ; 1] par h(x)=\mathrm{e}^{-x}.
On a h'(x)=-\mathrm{e}^{-x}<0.
La fonction h est donc décroissante.
Donc quel que soit x appartenant à l'intervalle [0 ; 1], on a :
\mathrm{e}^{-x}\le \mathrm{e}^{0} et \mathrm{e}^{0} = 1.
Pour tout entier n, et pour tout x \in [0\,;\,1] on a donc :
x^{n}\mathrm{e}^{-x}\le x^{n}.
D'où 0\le \displaystyle \int_{0}^{1}x^{n}\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\le\displaystyle \int_{0}^{1}x^{n}\,\mathrm{d}x.
Et \displaystyle \int_{0}^{1}x^{n}\,\mathrm{d}x=\left[\frac{1}{n+1}x^{n+1}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{n+1}.
Donc pour tout entier n : 0\le I_{n}\le \frac{1}{n+1}.
Or \displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n+1}=0.
D'après le théorème dit « des gendarmes », on a :
\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_{n}=0.