Sujet national, juin 2011, exercice 2

Énoncé

Pour chaque question, une ou plusieurs des quatre réponses proposées sont exactes. Aucune justification n'est demandée.
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \left(\mathrm{O}\,;\, \vec{u}, \vec{v}\right).
On désigne par A, B, C et D les points d'affixes respectives z_{\mathrm{A}} = 1, z_{\mathrm{B}} = \mathrm{i}, z_{\mathrm{C}} = -1 et z_{\mathrm{D}} = -\mathrm{i}.
1 L'ensemble des points d'affixe z telle que | z + \mathrm{i} | =| z-1| est :
❑ la médiatrice du segment [BC].
❑ le milieu du segment [BC].
❑ le cercle de centre O et de rayon 1.
❑ la médiatrice du segment [AD].
2 L'ensemble des points d'affixe z telle que \frac{z + \mathrm{i}}{z + 1} soit un imaginaire pur est :
❑ la droite (CD) privée du point C.
❑ le cercle de diamètre [CD] privé du point C.
❑ le cercle de diamètre [BD] privé du point C.
❑ la médiatrice du segment [AB].
3 L'ensemble des points d'affixe z telle que \arg(z - \mathrm{i}) = - \frac{\pi}{2} + 2k\pik\in\mathbb{Z} est :
❑ le demi-cercle de diamètre [BD] passant par A.
❑ la droite (BD).
❑ la demi-droite ]BD) d'origine B passant par D privée de B.
❑ le cercle de diamètre [BD] privé de B et D.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances

Thèmes du programme
Module et argument d'un nombre complexe, affixe d'un point.
Nombre complexe
Module (d'un nombre complexe)
Affixe
Argument
Nos conseils
1 On recherche un ensemble de points du plan, on doit donc avoir le réflexe de traduire l'égalité sur les arguments sous forme de distance entre deux points. Justement, d'après le cours, on sait que | z_\mathrm{M}-z_\mathrm{A}| =\mathrm{AM}.
Penser ensuite à la propriété vue en cinquième sur la médiatrice d'un segment.
2  Penser ici à traduire le fait qu'un complexe est un imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle c'est-à-dire si son argument est égal à \frac{\pi}{2} modulo π.
3 Utiliser ici le fait que si z_{\vec{w}} est l'affixe d'un vecteur \vec{w}, alors arg(z_{\vec{w}})=(\vec{u}\;;\;\vec{w})+2k\pi.

Corrigé

1 On cherche l'ensemble des points M d'affixe z tels que :
\mid z + \mathrm{i}\mid = \mid z -1\mid, c'est-à-dire \mid z - z_{\mathrm{D}}\mid = \mid z - z_{\mathrm{A}}\mid,
soit AM = DM.
L'ensemble des points M est donc la médiatrice du segment [AD].
Comme ABCD est un carré, l'ensemble des points M est donc aussi la médiatrice du segment [BC].
Les bonnes réponses sont donc les 1re et 4e réponses.
2 On cherche l'ensemble des points M d'affixe z tels que \frac{z+\mathrm{i}}{z+1} soit un imaginaire pur.
Il faut z \neq -1, c'est-à-dire que M ne peut pas être confondu avec C.
On a \frac{z+\mathrm{i}}{z+1}\in \mathrm{i}\mathbb{R} \Leftrightarrow \arg(\frac{z-z_{\mathrm{D}}}{z-z_{\mathrm{C}}})=\frac{\pi}{2}[\pi]
\Leftrightarrow (\vec{\mathrm{MC}}\,;\,\vec{\mathrm{MD}})=\frac{\pi}{2}[\pi].
L'ensemble des points M est donc le cercle de diamètre [CD] privé du point C.
La bonne réponse est donc la 2e réponse.
3 Soit M le point d'affixe z.
On a \arg(z-\mathrm{i})=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\Leftrightarrow (\vec{u}\,;\,\vec{BM})= -\frac{\pi}{2}+2k\pi.
L'ensemble des points M est donc la demi-droite ]BD).
La bonne réponse est donc la 3e réponse.