Sujet national, juin 2011, exercice 1

Énoncé

Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10^{-4}.
Dans un pays, il y a 2 % de la population contaminée par un virus.
Partie A
On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
  • la probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test) ;
  • la probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité du test).
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
On note V l'événement : « la personne est contaminée par le virus », et T l'événement : « le test est positif ».
\overline{V} et \overline{T} désignent respectivement les événements contraires de V et T.
1 
a) Préciser les valeurs des probabilités p(V), p_{V}(T) et p_{\overline{V}}(\overline{T}).
Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
b) En déduire la probabilité de l'événement {V \cap T}.
2 Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,0492.
3 
a) Justifier par un calcul la phrase :
« Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40 % de "chances" que la personne soit contaminée ».
b) Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.
Partie B
On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes.
1 Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
2 Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances

Thèmes du programme
Formule des probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, loi binomiale.
Probabilités conditionnelles
Probabilités totales
Loi binomiale
Nos conseils

Partie A
1 
a) Lorsqu'il est demandé de préciser ou de déterminer les valeurs de probabilités particulières, deux situations se présentent : soit les réponses sont déjà données dans l'énoncé, il faut simplement les retrouver en traduisant les événements dont on recherche les probabilités, soit les données ne sont pas suffisantes et on doit utiliser différentes formules ou propriétés pour les déterminer.
Quoi qu'il en soit, on doit d'abord chercher si les probabilités demandées ne sont pas déjà données et si on constate qu'il en manque, on les recherchera.
Ici, toutes les probabilités demandées sont données. Il suffit de traduire les phrases de l'énoncé en fonction des événements dont on recherche les probabilités.
b) Utiliser la formule des probabilités conditionnelles.
En appliquant la formule des probabilités conditionnelles, on a deux possibilités :
P(V\cap T)=P(V)\times P_V(T) ou
P(V\cap T)=P(T)\times P_T(V)
Pourquoi privilégier la première égalité ? Tout simplement parce que c'est celle des deux qui s'exprime en fonction de probabilités connues.
2 Pour déterminer P(T) on doit utiliser la formule des probabilités totales qui mobilisera les connaissances précédentes et en particulier l'arbre précédemment complété.
3 
a) La difficulté de cette question est de traduire la phrase : « on cherche à prouver que la probabilité qu'une personne soit contaminée sachant que le test est positif est d'environ 40 % ».
Le « sachant que », précédant « le test est positif » nous conduit à traduire cette phrase par le calcul de P_T(V).
b) Même chose que précédemment, on doit donc rechercher la probabilité P_{\overline{T}}(\overline{V}).
Partie B
1 Simple question de cours. On reconnaît la loi binomiale puisque nous avons la répétition 10 fois, de façon indépendante, d'un même événement dont la probabilité de réalisation est p = 0,02.
2 Dès qu'il est demandé de calculer une probabilité supérieure à k, k étant plus proche de 0 que de n, on passe par l'événement contraire afin de minimiser les calculs.

Corrigé

Partie A
1 
a) Dans un pays, il y a 2 % de la population contaminée par un virus.
Donc p(V) = 0,02.
La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de 0,99.
Donc p_{V}(T)=0,99.
La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97.
Donc p_{\overline {V}}(\overline {T})=0,97.
D'où l'arbre pondéré :
Sujet national, juin 2011, exercice 1 - illustration 1
b) On a p(V \cap T)=p(V)\times p_{V}(T),
d'où p(V \cap T)=0,02 \times 0,99=0,0198.
2 On cherche p (T).
La formule des probabilités totales donne :
p(T) = p(V\cap T)+p(\overline{V}\cap{T}),
soit p(T) =0,0198 + 0,98 \times 0,03 = 0,0492.
3 
a) On cherche à calculer p_{T}(V).
D'après la formule des probabilités conditionnelles, on a :
p_{T}(V)=\frac{p(V \cap T)}{p(T)}=\frac{0,0198}{0,0492}\approx {0,4}.
Il y a environ 40 % de « chances » que la personne soit contaminée si le test est positif.
b) On cherche p_{\overline {T}}(\overline{V}).
D'après la formule des probabilités conditionnelles on a :
p_{\overline {T}}(\overline {V})=\frac{p(\overline{V} \cap \overline {T})}{p(\overline {T})}=\frac{0,98\times 0,97}{1-0,0492}\approx {0,999}.
La probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif est donc d'environ 0,999.
Partie B
1 L'expérience consiste à choisir 10 personnes au hasard, les tirages sont indépendants, il n'y a que deux issues possibles pour chaque personne.
Donc X suit une loi binomiale de paramètres : n = 10 et p = 0,02.

2 On a p(X \geq 2) = 1 - p(X = 1) - p(X = 0).
D'où p(X \geq 2) = 1 -10 \times 0,02^{1} \times 0,98^{9} - 0,98^{10}.
Soit p(X \geq 2) \approx 0,016.
La probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi 10 est donc d'environ 0,016.