Antilles, septembre 2010, exercice 3


Énoncé

On considère la suite de nombres réels (u_{n}) définie sur \mathbb{N} par u_{0} = -1, u_{1} = \frac{1}{2} et, pour tout entier naturel n, u_{n+2} = u_{n+1} - \frac{1}{4}u_{n}.
1 Calculer u_{2} et en déduire que la suite (u_{n}) n'est ni arithmétique ni géométrique.
2 
On définit la suite (v_{n}) en posant, pour tout entier naturel n :
v_{n} = u_{n + 1} - \frac{1}{2}u_{n}.
a) Calculer v_{0}.
b) Exprimer v_{n + 1} en fonction de v_{n}.
c) En déduire que la suite (v_{n}) est géométrique de raison \frac{1}{2}.
d) Exprimer v_{n} en fonction de n.
3 
On définit la suite (w_{n}) en posant, pour tout entier naturel n :
w_{n} = \frac{u_{n}}{v_{n}}.
a) Calculer w_{0}.
b) En utilisant l'égalité u_{n + 1} = v_{n} + \frac{1}{2}u_{n} exprimer w_{n + 1} en fonction de u_{n} et de v_{n}.
c) En déduire que pour tout n de \mathbb{N}, w_{n + 1} = w_{n}+2.
d) Exprimer w_{n} en fonction de n.
4 Montrer que pour tout entier naturel n, u_{n} = \frac{2n - 1}{2^{n}}.
5 Pour tout entier naturel n, on pose :
S_{n} = \sum^{n}_{k=0}u_{k} = u_{0} + u_{1} + \ldots +u_{n}.
Démontrer par récurrence que pour tout n de \mathbb{N} :
S_{n} = 2 - \frac{2n + 3}{2^{n}}.

Annexes

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