Antilles, septembre 2010, exercice 3

Énoncé

On considère la suite de nombres réels (u_{n}) définie sur \mathbb{N} par u_{0} = -1, u_{1} = \frac{1}{2} et, pour tout entier naturel n, u_{n+2} = u_{n+1} - \frac{1}{4}u_{n}.
1 Calculer u_{2} et en déduire que la suite (u_{n}) n'est ni arithmétique ni géométrique.
2 
On définit la suite (v_{n}) en posant, pour tout entier naturel n :
v_{n} = u_{n + 1} - \frac{1}{2}u_{n}.
a) Calculer v_{0}.
b) Exprimer v_{n + 1} en fonction de v_{n}.
c) En déduire que la suite (v_{n}) est géométrique de raison \frac{1}{2}.
d) Exprimer v_{n} en fonction de n.
3 
On définit la suite (w_{n}) en posant, pour tout entier naturel n :
w_{n} = \frac{u_{n}}{v_{n}}.
a) Calculer w_{0}.
b) En utilisant l'égalité u_{n + 1} = v_{n} + \frac{1}{2}u_{n} exprimer w_{n + 1} en fonction de u_{n} et de v_{n}.
c) En déduire que pour tout n de \mathbb{N}, w_{n + 1} = w_{n}+2.
d) Exprimer w_{n} en fonction de n.
4 Montrer que pour tout entier naturel n, u_{n} = \frac{2n - 1}{2^{n}}.
5 Pour tout entier naturel n, on pose :
S_{n} = \sum^{n}_{k=0}u_{k} = u_{0} + u_{1} + \ldots +u_{n}.
Démontrer par récurrence que pour tout n de \mathbb{N} :
S_{n} = 2 - \frac{2n + 3}{2^{n}}.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances

Thèmes du programme
Suites arithmétiques et géométrique, convergence, démonstration par récurrence.
Suite
Convergente, divergente (suite)
Suite arithmétique
Suite géométrique
Récurrence
Nos conseils
1 La connaissance de u_2 nous permet de comparer u_2-u_1 et u_1-u_0, puis \frac{u_2}{u_1} et \frac{u_1}{u_0} et de conclure.
2 
a) Utiliser la définition de v_n en fonction de u_n.
b) Utiliser la définition de v_n en fonction de u_n et la relation de récurrence entre u_{n+2}, u_{n+1} et u_n.
c) Revenir à la définition d'une suite géométrique et ne pas oublier de préciser son premier terme.
d) Utiliser une propriété d'une suite géométrique.
3 
a) Remplacer n par 0 dans la relation donnée dans l'énoncé.
b) Remplacer dans w_{n+1}, v_{n+1} et u_{n+1} en fonction de v_n et u_n, puis conclure.
c) Utiliser l'égalité obtenue précédemment et la définition de w_n.
d) Reconnaître la nature de la suite (w_n) puis utiliser la propriété ad hoc.
4  v_n et w_n ont été exprimés en fonction de n, d'où u_n.
5 Démonstration par récurrence.

Corrigé

1 On a u_{2}=u_{1}-\frac{1}{4}u_{0}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\times (-1)=\frac{3}{4}.
On a u_{2}-u_{1}=\frac{1}{4} et u_{1}-u_{0}=\frac{3}{2},
d'où u_{2}-u_{1}\neq u_{1}-u_{0}.
Donc la suite (un) n'est pas arithmétique.
On a \frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{3}{2} et \frac{u_{1}}{u_{0}}=-\frac{1}{2}.
D'où \frac{u_{2}}{u_{1}}\neq \frac{u_{1}}{u_{0}}.
Donc la suite (u n ) n'est pas géométrique.
2 
a)  v_{0}=u_{1}-\frac{1}{2}u_{0}=1.
b) Pour tout entier n on a : v_{n+1}=u_{n+2}-\frac{1}{2}u_{n+1}.
Or on sait que u_{n+2}=u_{n+1}-\frac{1}{4}u_{n},
d'où v_{n+1}=u_{n+1}-\frac{1}{4}u_{n}-\frac{1}{2}u_{n+1}=\frac{1}{2}u_{n+1}-\frac{1}{4}u_{n}.
Soit v_{n+1}=\frac{1}{2}(u_{n+1}-\frac{1}{2}u_{n})=\frac{1}{2}v_{n}.
c) Pour tout entier n on a : v_{n+1}=\frac{1}{2}v_{n}.
Donc la suite (vn) est un suite géométrique de raison \frac{1}{2} et de premier terme v_{0}=1.
d) D'après la définition d'une suite géométrique, on a pour tout entier n :
v_{n}=1\times (\frac{1}{2})^{n}=\frac{1}{2^{n}}.
3 
a)  w_{0}=\frac{u_{0}}{v_{0}}=-1.
b) Pour tout entier n, on a w_{n+1}=\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}.
Or on sait que u_{n+1}=v_{n}+\frac{1}{2}u_{n} et v_{n+1}=\frac{1}{2}v_{n}.
D'où w_{n+1}=\frac{v_{n}+\frac{1}{2}u_{n}}{\frac{1}{2}v_{n}},
soit w_{n+1}=\frac{\frac{2v_{n}+u_{n}}{2}}{\frac{v_{n}}{2}}=\frac{2v_{n}+u_{n}}{v_{n}}.
c) D'après la question précédente on sait que pour tout entier n, on a :
w_{n+1}=\frac{2v_{n}+u_{n}}{v_{n}}=2+\frac{u_{n}}{v_{n}}=2+w_{n}.
d) D'après la question précédente, la suite (wn) est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme w0 = −1.
Par définition on a : w_{n}=-1+2n.
4 On sait que pour tout entier n on a :
w_{n}=\frac{u_{n}}{v_{n}} donc u_{n}=w_{n}\times v_{n}.
Or w_{n}=-1+2n et v_{n}=\frac{1}{2^{n}},
donc u_{n}=(2n-1)\times \frac{1}{2^{n}}=\frac{2n-1}{2^{n}}.
5 Pour tout entier n on a : S_{n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}u_{k}.
On veut montrer par récurrence que S_{n}=2-\frac{2n+3}{2^{n}}.
Initialisation : on a S_{0}=u_{0}=-1 et 2-\frac{2\times 0+3}{2^{0}}=-1.
La formule est donc vraie pour n = 0.
Soit n un nombre entier strictement positif, on suppose que la formule est vraie au rang n, c'est-à-dire S_{n}=2-\frac{2n+3}{2^{n}}.
Au rang n + 1 on a : S_{n+1}=S_{n}+u_{n+1}.
Or u_{n}=\frac{2n-1}{2^{n}}, soit u_{n+1}=\frac{2(n+1)-1}{2^{n+1}}=\frac{2n+1}{2^{n+1}}.
D'où S_{n+1}=2-\frac{2n+3}{2^{n}}+\frac{2n+1}{2^{n+1}}
S_{n+1}=2-\frac{2(2n+3)-2n-1}{2^{n+1}}=2-\frac{2n+5}{2^{n+1}}.
Finalement : S_{n+1}=2-\frac{2(n+1)+3}{2^{n+1}}.
La formule est donc vraie au rang n+1.
Elle est donc vraie pour tout entier n.