Polynésie, septembre 2010, exercice 3

Énoncé

Un jeu consiste à tirer simultanément 4 boules indiscernables au toucher d'un sac contenant une boule noire et 9 boules blanches, puis à lancer un dé bien équilibré à six faces numérotées de 1 à 6.
  • Si la boule noire est tirée, il faut obtenir un nombre pair avec le dé pour gagner ;
  • si la boule noire n'est pas tirée, il faut obtenir un six avec le dé pour gagner.
On appelle N l'événement « la boule noire figure parmi les boules tirées » et G l'événement « le joueur gagne ».
1 
a) Déterminer la probabilité de l'événement N.
b) Démontrer que la probabilité de l'événement G est égale à \frac{3}{10}. On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
c) Le joueur ne gagne pas. Quelle est la probabilité qu'il ait tiré la boule noire ?
2 
Pour jouer à ce jeu, une mise de départ de m euros est demandée, où m est un réel strictement positif.
  • Si le joueur gagne, il reçoit 4 euros ;
  • s'il ne gagne pas mais qu'il a tiré la boule noire, le joueur récupère sa mise ;
  • s'il ne gagne pas et qu'il n'a pas tiré la boule noire, le joueur perd sa mise.
On appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Exprimer l'espérance mathématique de X en fonction de m.
c) On dit que le jeu est équitable si l'espérance mathématique de X est nulle. Déterminer m pour que le jeu soit équitable.
3 Soit n un entier naturel non nul.
On joue n fois à ce jeu sachant qu'après chaque partie les boules sont remises dans le sac. Déterminer la valeur minimale de n pour laquelle la probabilité de gagner au moins une fois est supérieure à 0,999.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances

Logarithme népérien
Espérance
Probabilités conditionnelles
Probabilités totales
Loi binomiale
Nos conseils
1 
a) Utiliser la formule donnant la probabilité d'un événement E dans le cas équiprobable : P(E)=\frac{\textrm{nombre de cas favorables}}{\textrm{nombre de cas possibles}}.
b) Appliquer la formule des probabilités totales.
c) Appliquer la formule des probabilités conditionnelles.
2 
a) Pour déterminer la loi, dresser son tableau de probabilités.
b) Connaître la formule donnant l'espérance et utiliser le tableau précédent.
3 Utiliser le logarithme pour résoudre l'inéquation obtenue.

Corrigé

1 
a) Il y a {9 \choose 3}\times 1 manières différentes de tirer trois boules blanches et une boule noire. Il y a {10 \choose 4}manières différentes de tirer 4 boules parmi 10.
Donc : p(N)=\frac{{9 \choose 3}}{{10 \choose 4}}=\frac{\frac{9!}{3!6!}}{\frac{10!}{4!6!}}=\frac{2}{5}.
b) D'après la formule des probabilités totales, on a :
p(G)=p(N \cap G)+p(\overline{N} \cap G)=p(N)\times p_{N}(G)+p(\overline{N})\times p_{\overline{N}}(G).
D'où p(G)=\frac{2}{5}\times \frac{1}{2}+\frac{3}{5}\times \frac{1}{6}=\frac{3}{10}.
Polynésie, septembre 2010, exercice 3 - illustration 1
c) On cherche la probabilité que le joueur ait tiré la boule noire sachant qu'il a perdu, c'est-à-dire p_{\overline {G}}(N).
Or p_{\overline {G}}(N)=\frac{p(N \cap \overline{G})}{p(\overline{G})}.
On a p(N \cap \overline{G})=\frac{2}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{5} et p(\overline{G})=1-p(G)=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}.
D'où p_{\overline {G}}(N)=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{7}{10}}=\frac{2}{7}.
2 
a) Il y a trois possibilités :
– le joueur gagne, le montant des gains est de 4 − m  euros, la probabilité est égale à \frac{3}{10} ;
– le joueur perd et il a tiré la boule noire, il ne perd pas d'argent et il n'en gagne pas, la probabilité est égale à \frac{1}{5} ;
– le joueur perd et il n'a pas tiré la boule noire il perd alors m euros, la probabilité est égale à \frac{3}{5}\times \frac{5}{6}=\frac{1}{2}.
D'où le tableau de la loi de probabilité de X :
X=x_{i}
4-m
0
-m
p(X=x_{i})
\frac{3}{10}
\frac{1}{5}
\frac{1}{2}

b) Par définition on a :
E(x)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}\times p(X=x_{i}).
Ici, E(x)=(4-m)\times \frac{3}{10}+0\times \frac{1}{5}+(-m)\times \frac{1}{2},
soit E(x)=\frac{-8m+12}{10}=\frac{-4m+6}{5}.
c) On a E(x)=0 \Leftrightarrow \frac{-4m+6}{5}=0
E(x)=0 \Leftrightarrow m=\frac{6}{4}=1,5.
Donc le jeu est équitable lorsque m = 1,5 €.
3 La probabilité de toujours perdre en jouant n fois est égale à (\frac{7}{10})^{n}.
Donc la probabilité de gagner au moins une fois est égale à 1-(\frac{7}{10})^{n}.
On cherche donc à résoudre l'inéquation 1-(\frac{7}{10})^{n} > 0,999, avec n, entier naturel, c'est-à-dire :
-(\frac{7}{10})^{n} > -0,001 \Leftrightarrow 0,7^{n} < 0,001 \Leftrightarrow n \ln 0,7 < \ln 0,001,
car la fonction ln est croissante.
Or ln 0,7 < 0 d'où n > \frac{\ln 0,001}{\ln 0,7}, soit enfin \frac{\ln 0,001}{\ln 0,7}\approx {19,4}.
La plus petite valeur de n pour gagner au moins une fois avec une probabilité égale à 0,999 est donc n = 20.