Polynésie, septembre 2010, exercice 1

Énoncé

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
1 On considère la suite (t_{n}) définie pour tout entier naturel n par :
t_{0} = 0, et pour tout entier naturel n, t_{n + 1} = t_{n} + \frac{1}{(n + 1)(n + 2)}.
Proposition : pour tout entier naturel n, t_{n} = \frac{n}{n + 1}.
2 Soient f et g deux fonctions définies et continues sur l'intervalle [0 ; 1].
Proposition : si \int^{1}_{0}f(x)\,\mathrm{d}x = \int^{1}_{0} g(x)\,\mathrm{d}x alors f = g sur l'intervalle [0 ; 1].

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances

Thèmes du programme
Suites, convergence, théorème des gendarmes, démonstration par récurrence, contre-exemple.
Suite
Convergente, divergente (suite)
Récurrence
Contre-exemple
Nos conseils
1 Démontrer la proposition par récurrence.
2 Trouver un contre-exemple pour prouver que la proposition est fausse.

Corrigé

1 La proposition est vraie, on peut la démontrer par récurence.
Initialisation : on a t_{0}=\frac{0}{0+1}=0.
La propriété est donc vraie pour n = 0.
Soit n un entier non nul, on suppose que t_{n}=\frac{n}{n+1}.
On veut démontrer qu'au rang n + 1 on a : t_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}.
Par définition on a, pour tout entier n : t_{n+1}=t_{n}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}.
Donc t_{n+1}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}.
D'où t_{n+1}=\frac{n^{2}+2n+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{(n+1)^{2}}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}.
La propriété est donc vraie au rang n + 1.
Donc pour tout entier n on a : t_{n}=\frac{n}{n+1}.
2 Montrons avec un contre-exemple que la propriété est fausse.
Soit f et g deux fonctions continues et définies sur [0 ;1] par : f(x)=x et g(x)=1-x.
On a \displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x=\displaystyle \int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x=[\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}=\frac{1}{2},
et \displaystyle \int_{0}^{1}g(x) \,\mathrm{d}x=\displaystyle \int_{0}^{1}1-x \,\mathrm{d}x=[x-\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
On a \displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x=\displaystyle \int_{0}^{1}g(x)\, \mathrm{d}x et pourtant f n'est pas égale à g sur tout l'intervalle [0 ; 1].