Sujet national, septembre 2010, exercice 3


Énoncé

L'espace est rapporté à un repère orthonormal (\mathrm{O}\,;\,\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k}).
Soit \mathcal{P} le plan d'équation 3x + y - z - 1 = 0 et \mathcal{D} la droite dont une représentation paramétrique est \left \lbrace \begin {array}{l} x = -t + 1 \\ y = 2t \\ z = -t + 2 \end {array} \right.t désigne un nombre réel.
1 
a) Le point C(1 ; 3 ; 2) appartient-il au plan \mathcal{P} ? Justifier.
b) Démontrer que la droite \mathcal{D} est incluse dans le plan \mathcal{P}.
2 
Soit \mathcal{Q} le plan passant par le point C et orthogonal à la droite \mathcal{D}.
a) Déterminer une équation cartésienne du plan \mathcal{Q}.
b) Calculer les coordonnées du point I, point d'intersection du plan \mathcal{Q} et de la droite \mathcal{D}.
c) Montrer que \mathrm{CI} = \sqrt{3}.
3 
Soit t un nombre réel et \mathrm{M}_{t} le point de la droite \mathcal{D} de coordonnées (-t + 1\,;\,2t\,;\,-t + 2).
a) Vérifier que pour tout nombre réel t, \mathrm{CM}^{2}_{t} = 6t^{2} - 12t + 9.
b) Montrer que CI est la valeur minimale de \mathrm{CM}_{t} lorsque t décrit l'ensemble des nombres réels.

Annexes

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