Sujet national, septembre 2010, exercice 3

Énoncé

L'espace est rapporté à un repère orthonormal (\mathrm{O}\,;\,\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k}).
Soit \mathcal{P} le plan d'équation 3x + y - z - 1 = 0 et \mathcal{D} la droite dont une représentation paramétrique est \left \lbrace \begin {array}{l} x = -t + 1 \\ y = 2t \\ z = -t + 2 \end {array} \right.t désigne un nombre réel.
1 
a) Le point C(1 ; 3 ; 2) appartient-il au plan \mathcal{P} ? Justifier.
b) Démontrer que la droite \mathcal{D} est incluse dans le plan \mathcal{P}.
2 
Soit \mathcal{Q} le plan passant par le point C et orthogonal à la droite \mathcal{D}.
a) Déterminer une équation cartésienne du plan \mathcal{Q}.
b) Calculer les coordonnées du point I, point d'intersection du plan \mathcal{Q} et de la droite \mathcal{D}.
c) Montrer que \mathrm{CI} = \sqrt{3}.
3 
Soit t un nombre réel et \mathrm{M}_{t} le point de la droite \mathcal{D} de coordonnées (-t + 1\,;\,2t\,;\,-t + 2).
a) Vérifier que pour tout nombre réel t, \mathrm{CM}^{2}_{t} = 6t^{2} - 12t + 9.
b) Montrer que CI est la valeur minimale de \mathrm{CM}_{t} lorsque t décrit l'ensemble des nombres réels.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances

Thèmes du programme
Représentation paramétrique d'une droite, vecteur normal, dérivée, vecteur directeur, équation cartésienne d'un plan.
Vecteur normal
Vecteur directeur
Dérivée
Équation cartésienne d'un plan
Représentation paramétrique d'une droite
Nos conseils
1 
a) Un point appartient à un plan si et seulement si ses coordonnées vérifient une équation cartésienne de ce plan.
b) Une droite est incluse dans un plan de l'espace si et seulement si les coordonnées de chaque point de cette droite vérifient l'équation cartésienne de ce plan.
2 
a) Une équation cartésienne d'un plan est de la forme ax + by + cz + d = 0.
Un vecteur directeur de \mathcal{D} est donc un vecteur normal de \mathcal{Q}, a, b et c sont ainsi déterminés.
Pour déterminer d on utilise l'hypothèse que C appartient à \mathcal{Q}.
b) Les coordonnées du point d'intersection de deux ensembles doivent vérifier les équations de ces deux ensembles.
c) Il suffit de calculer CI2.
3 
a) Il suffit de calculer CMt2.
b) On pose \mathrm{CM}_t=f(t) et on étudie les variations de f.

Corrigé

1 
a) Un point appartient à un plan lorsque ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
Le plan \mathcal{P} a pour équation 3x + y - z -1 = 0 et le point C a pour coordonnées (1 ; 3 ; 2).
On remplace donc x par 1 ; y par 3 et z par 2 dans l'égalité et on vérifie si elle est vraie ou fausse.
On a : 3 × 1 + 3 − 2 − 1 = 3 \neq 0.
Donc le point C n'appartient pas au plan \mathcal{P}.
b) Pour démontrer qu'une droite est incluse dans un plan, on peut montrer que tous les points de la droite appartiennent au plan, il suffit même de démontrer que deux points de la droite appartiennent au plan.
On considère un point \mathrm{M}(-t+1\,;\,2t\,;\,-t+2) appartenant à la droite \mathcal{D}.
On a \mathrm{M}\in \mathcal{P} \Leftrightarrow 3(-t + 1) + 2t - (-t + 2)- 1 = 0
\Leftrightarrow -3t + 3 + 2t + t -2 - 1 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0.
Ce qui est toujours vrai quelque soit la valeur du réel t.
Donc la droite \mathcal{D} est incluse dans le plan \mathcal{P}.
2 
a) Un vecteur directeur de la droite \mathcal{D} a pour coordonnées (−1 ; 2 ; −1).
Le plan \mathcal{Q} est orthogonal à la droite \mathcal{D}, donc les vecteurs directeurs de la droite \mathcal{D} sont des vecteurs normaux au plan \mathcal{Q}.
Une équation du plan \mathcal{Q} est donc de la forme : - x + 2 y - z + d = 0.
Pour finir de déterminer l'équation du plan \mathcal{Q}, il faut déterminer la valeur de d. On sait que le point C appartient au plan \mathcal{Q}, les coordonnées du point C doivent vérifier l'équation du plan \mathcal{Q}. On a alors :
- 1 + 2 \times 3 - 2 + d = 0 \Leftrightarrow 3 + d = 0 \Leftrightarrow d = - 3.
Une équation du plan \mathcal{Q} est donc - x + 2 y - z -3 = 0.
b) Les coordonnées du point I, intersection de la droite \mathcal{D} et du plan \mathcal{Q} doivent vérifier les deux équations de \mathcal{D} et de \mathcal{Q}.
C'est-à-dire : \left \lbrace \begin {array}{l} x_{\mathrm{I}} = -t + 1\\ y_{\mathrm{I}} = 2t\\ z_{\mathrm{I}} = -t + 2 \end {array} \right. et - x_{\mathrm{I}} + 2 y_{\mathrm{I}} - z_{\mathrm{I}} -3 = 0.
On a donc \mathrm{I} \in \mathcal{D} et \mathrm{I} \in \mathcal{Q}\Leftrightarrow -(-t + 1) + 2 \times 2t - (-t + 2) - 3 = 0.
\Leftrightarrow t - 1 + 4t + t - 2 - 3 = 0 \Leftrightarrow 6t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1.
D'où x_{\mathrm{I}} = -1 + 1 = 0 ; y_{\mathrm{I}} = 2 \times 1 = 2 et z_{\mathrm{I}} = -1 + 2 = 1.
Donc I a pour coordonnées (0 ; 2 ; 1).
c) Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{CI}} sont (x_{\mathrm{I}}-x_{\mathrm{C}}\,;\, y_{\mathrm{I}}-y_{\mathrm{C}}\,;\,z_{\mathrm{I}}-z_{\mathrm{C}}), soit (-1\,;\,-1\,;\,-1).
On sait que \mathrm{CI}^{2}=\overrightarrow{\mathrm{CI}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CI}}, soit :
\mathrm{CI}^{2}=(-1)\times (-1)+(-1)\times (-1)+(-1)\times (-1)=3.
Donc \mathrm{CI}=\sqrt{3}.
3 
Soit t un nombre réel et M t le point de la droite \mathcal{D} de coordonnées (-t + 1\,;\,2t\,;\,-t + 2).
a) Quel que soit le réel t, \overrightarrow{\mathrm{CM}}_{t} a pour coordonnées 
(x_{\mathrm{M}_{t}}-x_{\mathrm{C}}\,;\,y_{\mathrm{M}_{t}}-y_{\mathrm{C}}\,;\,z_{\mathrm{M}_{t}}-z_{\mathrm{C}}), soit (-t\,;\,2t-3\,;\,-t).
On sait que \mathrm{CM}_{t}^{2}=\overrightarrow{\mathrm{CM}}_{t}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CM}}_{t}, soit :
\mathrm{CM}_{t}^{2}=(-t)\times (-t)+(2t-3)\times (2t-3)+(-t)\times (-t).
D'où \mathrm{CM}_{t}^{2}=t^{2}+4t^{2}-12t+9+t^{2}=6t^{2}-12t+9.
b) On définit la fonction f sur l'ensemble des réels par :
f(t)=6t^{2}-12t+9.
La fonction f est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur l'ensemble des réels. Sa dérivée f' est définie par f'(t)=12t-12.
On a f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 1 ; f'(t) > 0 \Leftrightarrow t > 1 et f'(t) < 0 \Leftrightarrow t < 1.
Quel que soit le réel t strictement inférieur à 1, la fonction f est strictement décroissante donc :
t < 1\Leftrightarrow f(t) > f(1).
Quel que soit le réel t strictement supérieur à 1, la fonction f est strictement croissante donc :
t > 1\Leftrightarrow f(t) > f(1).
Lorsque t = 1, la fonction f admet un minimun égal à f(1).
Par conséquent, quelque soit la valeur de t, on a f(t) \geq f(1).
Or lorsque t = 1, on a \mathrm{CM}_{t}=\mathrm{CI}=\sqrt{3}.
Donc CI est la valeur minimale de CM t lorsque t décrit l'ensemble des nombres réels.