Sujet national, septembre 2010, exercice 2

Énoncé

Soit (u_{n}) la suite définie par u_{0} = 5 et pour tout nombre entier naturel n, par u_{n + 1} = \frac{4u_{n} - 1}{u_{n} + 2}.
Si f est la fonction définie sur l'intervalle ]-2\,;\,+\infty[ par :
f(x) = \frac{4x - 1}{x + 2},
alors on a, pour tout nombre entier naturel n, u_{n + 1} = f(u_{n}).
On donne sur la figure ci-dessous une partie de la courbe représentative \mathcal{C} de la fonction f ainsi que la droite \Delta d'équation y = x.
Sujet national, septembre 2010, exercice 2 - illustration 1
1 
a) Sur l'axe des abscisses, placer u_{0} puis construire u_{1}, u_{2} et u_{3} en laissant apparents les traits de construction.
b) Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite (u_{n})  ?
2 
a) Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n, on a u_{n} - 1 > 0.
b) Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1.b).
3 
Dans cette question, on se propose d'étudier la suite (u_{n}) par une autre méthode, en déterminant une expression de (u_{n}) en fonction de n.
Pour tout nombre entier naturel n, on pose v_{n} = \frac{1}{u_{n} - 1}.
a) Démontrer que la suite (v_{n}) est une suite arithmétique de raison \frac{1}{3}.
b) Pour tout nombre entier naturel n, exprimer v_{n} puis u_{n} en fonction de n.
c) En déduire la limite de la suite (u_{n}).

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances

Thèmes du programme
Suites, suite arithmétique, convergence, démonstration par récurrence, théorème du point fixe.
Suite arithmétique
Convergente, divergente (suite)
Théorème de convergence monotone
Récurrence
Nos conseils
1 
a)  u_1 est l'ordonnée du point de la courbe \mathcal{C} d'abscisse u_0. Ensuite, on utilise la droite \Delta pour placer u_1 sur l'axe des abscisses puis u_2 est l'ordonnée du point de la courbe \mathcal{C} d'abscisse u_1, etc.
b) Le placement sur l'axe des abscisses des nombres u_0, u_1, u_2, nous conduit à émettre les conjectures attendues.
2 
a) Montrer que f'   >  0, donc que f est croissante pour montrer que u_n>1 implique u_{n+1}>1.
b) Pour démontrer que la suite est décroissante, revenir à la définition c'est-à-dire montrer que u_{n+1}<u_n.
Pour la convergence vers 1, utiliser le théorème de convergence monotone puis appliquer le théorème du point fixe.
3 
a) Montrer que v_{n+1}-v_n est constant et ne pas oublier de préciser le premier terme de cette suite arithmétique, même s'il n'est pas explicitement demandé.
b) Déduire v n en fonction de n d'après la formule du cours sur les suites arithmétiques puis en déduire, d'après l'égalité de l'énoncé, l'expression demandée de u n .
c) On tombe sur une forme indéterminée. Pour lever l'indétermination, mettre n en facteur au numérateur et au dénominateur de u n .

Corrigé

1 
a) 
On sait que pour tout entier n on a u_{n+1}= f(u_n). À partir de u 0, on construit u 1 sur l'axe des ordonnées comme image par la fonction f de u 0. On reporte u 1 sur l'axe des abscisses en utilisant la droite d'équation y  =  x. On réitère le processus pour u 2 et u 3.
Sujet national, septembre 2010, exercice 2 - illustration 2
b) Graphiquement, on peut conjecturer que la suite (u n ) semble décroissante et qu'elle semble converger vers 1 (abscisse du point d'intersection de la droite d'équation y = x et la courbe représentative de la fonction  f).
2 
a) Initialisation : on a u 0  = 5. Donc u 0   −  1  >  0. La propriété est vraie au rang 0.
Soit n un entier non nul. On suppose que la propriété est vraie jusqu'au rang n, c'est-à-dire u n   −  1  >  0.
Au rang n  + 1 on a : u_{n+1}=\frac{4u_{n}-1}{u_{n}+2}.
u_{n+1}-1=\frac{4u_{n}-1}{u_{n}+2}-1=\frac{4u_{n}-1-u_{n}-2}{u_{n}+2}.
D'où u_{n+1}-1=\frac{3(u_{n}-1)}{u_{n}+2}.
On sait que u n   −  1 > 0, donc 3 (u n   −  1) > 0,
et u n   −  1 > 0 \Leftrightarrow u n > 1 \Leftrightarrow u n + 2 > 3, d'où u n + 2 > 0.
Donc u_{n+1}-1 > 0, la propriété est donc vraie au rang n  + 1.
Conclusion : quel que soit l'entier n, on a u n   −  1 > 0.
b) Dans la question 1.b) on a fait deux conjectures : la décroissance de la suite et sa convergence vers 1.
Pour démontrer que la suite (u n ) est décroissante on peut calculer u n + 1   −   u n et étudier son signe.
Quel que soit l'entier n, on a : u_{n+1}-u_{n}=\frac{4u_{n}-1}{u_{n}+2}-u_{n}.
On réduit au même dénominateur :
u_{n+1}-u_{n}=\frac{4u_{n}-1-u_{n}(u_{n}+2)}{u_{n}+2}
u_{n+1}-u_{n}=\frac{-u_{n}^{2}+2u_{n}-1}{u_{n}+2}=-\frac{(u_{n}-1)^{2}}{u_{n}+2}.
Or (u n   −  1)2 > 0 et u n + 2 > 3 > 0 d'après la question 2.a).
Donc u_{n+1}-u_{n}<0 c'est-à-dire u_{n+1} < u_{n}.
Conclusion : la suite (u n ) est décroissante.
La suite est minorée par 1 d'après la question 2.a), de plus elle est décroissante d'après ce qui précède, donc elle converge vers une limite \ell.
La fonction f est continue donc, d'après le théorème du point fixe, la limite \ell vérifie f(\ell)=\ell. On a donc :
\ell=\frac{4\ell -1}{\ell +2}
\ell^{2}+2\ell=4\ell -1
\ell^{2}-2\ell+1=0
(\ell-1)^{2}=0
\ell=1.
Conclusion : la suite (u n ) est décroissante et elle converge vers 1.
3 
a) Pour tout entier n  : v_{n}=\frac{1}{u_{n}-1}, d'où v_{n+1}=\frac{1}{u_{n+1}-1}.
Or à la question 2.a) on a vu que u_{n+1}-1=\frac{3(u_{n}-1)}{u_{n}+2}, d'où :
v_{n+1}=\frac{u_{n}+2}{3(u_{n}-1)}.
On a v_{n+1}-v_{n}=\frac{u_{n}+2}{3(u_{n}-1)}-\frac{1}{u_{n}-1}
v_{n+1}-v_{n}=\frac{u_{n}+2-3}{3(u_{n}-1)}=\frac{1}{3}.
Par ailleurs, v_{0}=\frac{1}{u_{0}-1}=\frac{1}{4}.
La suite (v n ) est donc une suite arithmétique de raison \frac{1}{3} et de premier terme v_{0}=\frac{1}{4}.
b) D'après la définition d'une suite arithmétique, pour tout entier n  :
v_{n}=\frac{1}{4}+n\times \frac{1}{3}=\frac{4n+3}{12}.
On a v_{n}=\frac{1}{u_{n}-1} donc u_{n}=\frac{1}{v_{n}}+1.
Donc pour tout entier n  :
u_{n}=\frac{12}{4n+3}+1=\frac{12+4n+3}{4n+3}=\frac{4n+15}{4n+3}.
c) On a \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_{n}=\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{4n+15}{4n+3}.
Or \frac{4n+15}{4n+3}=\frac{4n(1+\frac{15}{4n})}{4n(1+\frac{3}{4n})}=\frac{1+\frac{15}{4n}}{1+\frac{3}{4n}}.
Donc \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_{n}=1.