Sujet national, septembre 2010, exercice 1

Énoncé

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0\,;\,+\infty[ par :
f(x) = x(1 - \ln{x}).
La courbe représentative \mathcal{C} de la fonction f est donnée ci-dessous.
Sujet national, septembre 2010, exercice 1 - illustration 1
Partie A : Étude de la fonction f
1 Étudier le signe de f(x) suivant les valeurs du nombre réel x.
2 Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.
3 Déterminer la dérivée de la fonction f sur l'intervalle ]0\,;\,+\infty[ et dresser le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle ]0\,;\,+\infty[.
4 
Soit a un nombre réel strictement positif. On considère la tangente (T_{a}) au point A de la courbe \mathcal{C} d'abscisse a.
a) Déterminer, en fonction du nombre réel a, les coordonnées du point A', point d'intersection de la droite (T_{a}) et de l'axe des ordonnées.
b) Expliciter une démarche simple pour la construction de la tangente (T_{a}). Sur la figure, construire la tangente (T_{a}) au point A placé sur la figure.
Partie B : Un calcul d'aire
Soit a un nombre réel strictement positif. On note \mathcal{A} (a) la mesure, en unités d'aire, de l'aire de la région du plan limitée par la courbe \mathcal{C}, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x = a et x = \mathrm{e}.
Justifier que \mathcal{A}(a) = \int^{\mathrm{e}}_{a}f(x)\,\mathrm{d}x, en distinguant le cas a < \mathrm{e} et le cas a >\mathrm{e}.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances

Thèmes du programme
Signe d'un produit, inéquation, limites usuelles, dérivée d'un produit, équation de tangente, primitive, intégrale.
Dérivée
Limite
Primitive
Intégrale
Nos conseils

Partie A : Étude de la fonction f
1 Remarquer que f(x) est un produit, puis résoudre une inéquation.
2 Penser aux limites de référence avec des logarithmes népérien.
3 Utiliser la formule donnant la dérivée d'un produit.
4 
a) Déterminer l'équation de la tangente, puis rechercher le point de la tangente d'abscisse nulle.
b) Utiliser le compas pour placer le point A' à partir du point A, puis joindre A et A'.
Partie B : Un calcul d'aire
S'appuyer sur le tableau de variations de f pour en déduire son signe puis les aires correspondantes.

Corrigé

Partie A : Étude de la fonction f
1 f(x) est un produit, pour étudier son signe on étudie le signe de chaque facteur et on utilise la règle des signes de la multiplication.
Le premier facteur est égal à x, sur l'intervalle ]0\,;\,+ \infty[ on a x > 0.
Le second facteur est égal à 1− ln x.
On a 1- \ln x = 0 \Leftrightarrow \ln x = 1 \Leftrightarrow x = \mathrm{e}, et 1 - \ln x > 0 \Leftrightarrow \ln x < 1 \Leftrightarrow x < \mathrm{e}.
Conclusion : pour 0 < x < e, on a f(x) > 0, f(e) = 0 et pour x > e, on a f(x) < 0.
2 Lorsque x\rightarrow +\infty, on a \ln x\rightarrow +\infty donc \displaystyle \lim_{x\to +\infty}(1-\ln x)=-\infty.
En utilisant la règle des signes de la multiplication on en déduit que :
\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x(1-\ln x)=-\infty, donc \displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty.
Pour tout réel x strictement positif, on a : f(x) = x - x \ln x.
D'après le cours on a \displaystyle \lim_{x\to 0}x\ln x=0 et \displaystyle \lim_{x\to 0}x=0.
Donc \displaystyle \lim_{x\to 0}x-x\ln x=0, soit \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=0.
3 La fonction f est dérivable comme produit de fonctions dérivables sur l'intervalle ]0\,;\,+\infty[.
Pour tout réel x strictement positif, la fonction f est du type uv donc sa dérivée f' est du type u'v+uv', avec u(x)=x, d'où u'(x)=1, et v(x)=1- \ln x donc v'(x)=-\frac{1}{x}.
Donc f'(x)=1\times (1-\ln x)+x\times (-\frac{1}{x})=1-\ln x+1=-\ln x.
On a f'(x) = 0 \Leftrightarrow - \ln x = 0\Leftrightarrow x = 1,
et f'(x) > 0 \Leftrightarrow - \ln x > 0 \Leftrightarrow \ln x < 0 \Leftrightarrow x < 1.
D'où le tableau de variations de la fonction f :
Sujet national, septembre 2010, exercice 1 - illustration 2
4 
Soit a un nombre réel strictement positif.
L'équation de la tangente (Ta) au point A d'abscisse a est donnée par la formule :
y = f'(a) \times (x - a)+ f(a).
a) On a f'(a)=- \ln a et f(a) = a (1- \ln a) = a - a \ln a.
L'équation de (Ta) est donc y =- \ln a ( x - a) + a - a \ln a,
soit y = -x\ln a + a.
On cherche les coordonnées du point A', point d'intersection de la tangente (Ta) et de l'axe des ordonnées, c'est-à-dire lorsque x = 0, ou encore l'ordonnée à l'origine de la droite (Ta). On trouve lorsque x = 0, y = a. Donc A' a pour coordonnées (0 ; a).
b) 
Construction de la tangente au point A à la courbe représentative \mathcal{C} de la fonction f. Le point A d'abscisse a est donné.
On place le point A'(0 ; a) en traçant le cercle de centre l'origine O du repère et de rayon a, ce cercle coupe l'axe des ordonnées en deux points, A' est celui des deux points qui a une ordonnée positive.
On trace ensuite la droite (Ta) passant par les points A et A'.
Sujet national, septembre 2010, exercice 1 - illustration 3
Partie B : Un calcul d'aire
Premier cas : 0 < a < e.
D'après la question 1. de la partie A, on sait que la fonction f est strictement positive sur ]0 ; e[.
La mesure, en unités d'aire, de l'aire de la région du plan délimitée par la courbe \mathcal{C}, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = a et x = e est par définition l'intégrale \displaystyle \int_{a}^\mathrm{e}f(x)\,\mathrm{d}x.
Donc \mathcal{A}(a)=\displaystyle \int_{a}^\mathrm{e}f(x)\,\mathrm{d}x.
Second cas a > e.
Toujours d'après la question 1. de la partie A, on sait que la fonction f est strictement négative sur l'intervalle ]e ; +\infty[.
La mesure, en unités d'aire, de l'aire de la région du plan délimitée par la courbe \mathcal{C}, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = a et x = e est par définition l'intégrale : -\displaystyle \int_\mathrm{e}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x.
Donc \mathcal{A}(a)=\displaystyle \int_{a}^\mathrm{e}f(x)\,\mathrm{d}x.
Conclusion : pour tout réel a strictement positif on a :
\mathcal{A}(a)=\displaystyle \int_{a}^\mathrm{e}f(x)\,\mathrm{d}x.