Sujet national, juin 2010, exercice 3

Énoncé

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.
1 Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 7 sont blanches et 3 sont noires. On tire simultanément 3 boules de l'urne. La probabilité de tirer 2 boules blanches et 1 boule noire est égale à :
\frac{21}{40}.
\frac{7}{10} \times \frac{6}{9} \times \frac{1}{3}.
\frac{7}{10} \times \frac{7}{10} \times \frac{1}{3}.
2 De la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs avec remise. La probabilité d'avoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches est égale à :
\frac{3^{3} \times 7^{2}}{10^{5}}.
{5\choose 2} \times \left(\frac{3}{10}\right)^{2} \times \left(\frac{7}{10}\right)^{3}.
{5\choose 2} \times \left(\frac{3}{10}\right)^{3} \times \left(\frac{7}{10}\right)^{2}.
3 
De la même urne, on tire une seule boule. Si elle est blanche, on lance un dé cubique (dont les faces sont numérotées de 1 à 6). Si la boule est noire, on lance un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de 1 à 4). On suppose les dés bien équilibrés. Le joueur gagne s'il obtient le numéro 1.
Sachant que le joueur a gagné, la probabilité qu'il ait tiré une boule blanche est égale à :
\frac{7}{60}.
\frac{14}{23}.
\frac{\frac{7}{10} \times \frac{1}{6}}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}}.
4 On note X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre \lambda (\lambda étant un nombre réel strictement positif). La probabilité de l'événement [1  inférieur ou égal   X   inférieur ou égal  3] est égale à :
\mathrm{e}^{-\lambda} - \mathrm{e}^{-3\lambda}.
\mathrm{e}^{-3\lambda} - \mathrm{e}^{-\lambda}.
\frac{\mathrm{e}^{\lambda}}{\mathrm{e}^{-3\lambda}}.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances

Loi exponentielle
Probabilités conditionnelles
Probabilités totales
Loi binomiale
Nos conseils
1 Utiliser la formule donnant la probabilité d'un événement E dans le cas équiprobable : P(E)=\frac{\textrm{nombre de cas favorables}}{\textrm{nombre de cas possibles}}.
2 Utiliser la formule de la loi binomiale.
3 S'appuyer sur un arbre et utiliser la formule des probabilités totales puis celle des probabilités conditionnelles.
4 Appliquer une des formules de la loi exponentielle.

Corrigé

1 Les boules sont indiscernables au toucher, on est donc dans une situation d'équiprobabilité.
On tire simultanément 3 boules de l'urne qui en contient 10, il y a donc {10\choose 3} issues possibles.
Il y a {7\choose 2} manières de tirer 2 boules blanches parmi les 7 présentes dans l'urne.
Il y a {3\choose 1} manières de tirer 1 boule noire parmi les 3 présentes dans l'urne.
Pour calculer la probabilité cherchée on utilise la formule de Laplace : \frac{\textrm{Nombre d'issues favorables}}{\textrm{Nombre d'issues possibles}}.
D'où : \frac{{7\choose 2}\times {3\choose 1}}{{10\choose 3}}=\frac{21}{40}.
La réponse est donc : \frac{21}{40}.
2 On fait 5 tirages successifs avec remise, on répète 5 fois la même expérience de façon indépendante avec deux issues possibles :
  • la boule est blanche avec une probabilité égale à \frac{7}{10}  ;
  • la boule est noire avec une probabilité égale à \frac{3}{10}.
La variable aléatoire X qui correspond au nombre de boules blanches tirées suit une loi binomiale de paramètres n  = 5 et p  =  \frac{7}{10}.
La probabilité d'obtenir 3 boules noires et 2 boules blanches est égale à :
p(X=2)={5\choose 2}\times\left(\frac{7}{10}\right)^{2}\times \left(1-\frac{7}{10}\right)^{5-2}.
D'où : p(X=2)={5\choose 2}\times\left(\frac{7}{10}\right)^{2}\times \left(\frac{3}{10}\right)^{3}.
3 
On note :
  • B l'événement : « la boule tirée est blanche » ;
  • N l'événement : « la boule tirée est noire » ;
  • G l'événement : « le joueur gagne » ;
  • P l'événement : « le joueur perd ».
On peut représenter la situation par un arbre pondéré :
Sujet national, juin 2010, exercice 3 - illustration 1
D'après la formule des probabilités totales, on a :
p(G)=p(B\cap G)+p(N\cap G)=p(B)\times p_{B}(G)+p(N)\times p_{N}(G)
D'où p(G)=\frac{7}{10}\times \frac{1}{6}+\frac{3}{10}\times \frac{1}{4}=\frac{23}{120}.
On cherche la probabilité que le joueur ait tiré une boule blanche sachant qu'il a gagné.
C'est-à-dire : p_{G}(B)=\frac{p(B\cap G)}{p(G)}=\frac{\frac{7}{60}}{\frac{23}{120}}=\frac{14}{23}.
4  p(1\leq X\leq 3)= \int_{1}^{3}\!\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\, dx=\Bigl[-\mathrm{e}^{-\lambda x}\Bigr]_{1}^{3}
p(1\leq X\leq 3)=-\mathrm{e}^{-3\lambda}+\mathrm{e}^{-\lambda}=\mathrm{e}^{-\lambda}-\mathrm{e}^{-3\lambda}.