Polynésie, juin 2010, exercice 2

Énoncé

Des robots se trouvent au centre de gravité O d'un triangle de sommets S, I et X.
Chacun se déplace en trois étapes successives de la manière suivante :
  • à chaque étape, il passe par l'un des trois sommets S, I ou X puis il rejoint le point O ;
  • les robots sont programmés de telle sorte que, lors d'une étape, la probabilité de passer par le sommet S est égale à celle de passer par le sommet X et la probabilité de passer par le sommet S est le double de celle de passer par le sommet I ;
  • les différentes étapes sont indépendantes les unes des autres ;
  • on ne tient pas compte des passages par le point O.
Partie A : un seul robot
Un seul robot se trouve au point O.
1 Démontrer qu'à chaque étape, la probabilité que le robot passe par le sommet I est égale à \frac{1}{5}.
2 On note E l'événement : « au cours des trois étapes, le robot passe successivement par les 3 sommets S, I, X dans cet ordre ».
Démontrer que la probabilité de E est égale à \frac{4}{125}.
3 On note F l'événement : « au cours des trois étapes, le robot passe exactement par les sommets S, I, X dans un ordre quelconque ».
Déterminer la probabilité de F.
Partie B : plusieurs robots
Des robots se trouvent au point O, leurs déplacements étant indépendants les uns des autres.
Quel nombre minimal n de robots doit-il y avoir pour que la probabilité de l'événement « au moins l'un de ces robots passe successivement par les sommets S, I, X dans cet ordre » soit supérieure ou égale à 0,99 ?

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances


Logarithme népérien
Formule des probabilités conditionnelles
Nos conseils

Partie A : un seul robot
1 Traduire l'énoncé par un système de deux équations faisant intervenir les probabilités de passer par chacun des sommets. Utiliser la définition des probabilité pour obtenir une troisième équation. Résoudre ce système.
2 Produit de probabilités.
3 Produit de probabilités.
Partie B : plusieurs robots
Utiliser l'événement contraire, puis résoudre une inéquation à l'aide du logarithme népérien.

Corrigé

Partie A : un seul robot
On note :
  • S l'événement : « le robot passe par le sommet S » ;
  • I l'événement : « le robot passe par le sommet I » ;
  • X l'événement : « le robot passe par le sommet X » ;
  • enfin p(S), p(I) et p(X) les probabilités respectives des événements S, I et X.
1 On traduit les phrases de l'énoncé avec les probabilités.
« La probabilité de passer par le sommet S est égale à celle de passer par le sommet X », donc p(S)=p(X).
« La probabilité de passer par le sommet S est le double de celle de passer par le sommet I », donc p(S)=2\times p(I). On a aussi p(X)=2\times p(I).
« À chaque étape, le robot passe par l'un des trois sommets S, I et X » et « Les différentes étapes sont indépendantes les unes des autres ». Donc p(S)+p(I)+p(X)=1.
Par conséquent, en remplaçant p(S) et p(X) par 2\times p(I), on obtient :
2\times p(I)+p(I)+2\times p(I)=1, soit 5\times p(I)=1.
Donc p(I)=\frac{1}{5}.
De plus p(S)=p(X)=\frac{2}{5}.
2  p(E)=p(S)\times p(I)\times p(X).
D'où p(E)=\frac{2}{5}\times \frac{1}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{4}{125}.
3 Il y a 6 manières pour le robot de passer exactement par les 3 sommets.
Donc p(F)=6\times p(E)=6\times \frac{4}{125}=\frac{24}{125}.
Partie B : plusieurs robots
On répète n fois la même expérience de manière indépendante avec 2 issues possibles : E ou \overline{E}. On sait d'après la partie A que p(E)=\frac{4}{125}, donc p(\overline{E})=\frac{121}{125}.
L'événement H : « au moins l'un des robots passe successivement par les sommets S, I et X dans cet ordre » a pour événement contraire \overline{H} : « aucun des n robots ne passe par les sommets S, I et X dans cet ordre ».
Et p(\overline{H})=(p(\overline{E}))^{n}=\left(\frac{121}{125}\right)^{n}, donc p(H)=1-\left(\frac{121}{125}\right)^{n}.
On cherche donc le plus petit entier n tel que p(H)\ge 0,99.
C'est-à-dire 1-\left(\frac{121}{125}\right)^{n}\ge 0,99
\Leftrightarrow -\left(\frac{121}{125}\right)^{n}\ge 0,99-1
\Leftrightarrow \left(\frac{121}{125}\right)^{n}\le 0,01, on multiplie les deux membres de l'inéquation par −1
\Leftrightarrow \ln\left(\frac{121}{125}\right)^{n}\le \ln(0,01), on passe aux logarithmes, les deux membres étant strictement positifs
\Leftrightarrow n\ln(\frac{121}{125})\le \ln(0,01), on utilise une propriété de la fonction ln : \ln(a)^{n} = n \ln(a)
\Leftrightarrow n\ge \frac{\ln(0,01)}{\ln\left(\frac{121}{125}\right)}, on divise les deux membres par : \ln\left(\frac{121}{125}\right)<0.
On a \frac{\ln(0,01)}{\ln\left(\frac{121}{125}\right)}\approx 141,6.
Il faut donc au minimum 142 robots pour que la probabilité de l'événement : « au moins l'un des robots passe successivement par les sommets S, I et X dans cet ordre » soit supérieure ou égale à 0,99.