Liban, juin 2010, exercice 1

Énoncé

Partie A
Restitution organisée de connaissances. On supposera connus les résultats suivants :
  • e0 = 1 ;
  • pour tous réels x et y, \mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{y} = \mathrm{e}^{x+y}.
1 Démontrer que pour tout réel x, \mathrm{e}^{-x} = \frac{1}{\mathrm{e}^{x}}.
2 Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n :
(\mathrm{e}^{x})^{n} = \mathrm{e}^{nx}.
Partie B
On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par :
u_{n} = \int^{1}_{0}\frac{\mathrm{e}^{-nx}}{1 + \mathrm{e}^{-x}}\,\mathrm{d}x.
1 
a) Montrer que u 0 + u 1 = 1.
b) Calculer u 1. En déduire u 0.
2 Montrer que pour tout entier naturel n, u n  supérieur ou égal 0.
3 
a) Montrer que pour tout entier naturel n non nul :
u_{n + 1} + u_{n} = \frac{1 - \mathrm{e}^{-n}}{n}.
b) En déduire que pour tout entier naturel n non nul, u_{n} \leq \frac{1 - \mathrm{e}^{-n}}{n}.
4 Déterminer la limite de la suite (u n ).

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances

Thèmes du programme
Fonctions exponentielle et logarithme, démonstration par récurrence, suites, théorème des gendarmes.
Primitive
Intégrale
Récurrence
Convergente
Suite
Exponentielle (fonction)
Logarithme népérien
Théorème des gendarmes
Nos conseils

Partie A
1 Utiliser la propriété de l'exponentielle :
\mathrm{e}^a\times \mathrm{e}^b=\mathrm{e}^{a+b}.
2 Démontrer la propriété par récurrence.
partie B
1 
a) Utiliser la définition de la suite puis la linéarité de l'intégrale.
b) Remarquer que pour une fonction de la forme \frac{u'}{u}, où u est une fonction à valeurs strictement positive, une primitive est la fonction \ln(u).
2 Déterminer le signe de la fonction intégrée dans la définition de un.
3 
a) Méthode analogue à celle utilisée au 1. a).
b) Utiliser l'inégalité trouvée précédemment pour obtenir la majoration demandée.
4 Utiliser la majoration précédente et le théorème des gendarmes, conclure.

Corrigé

Partie A
1 Pour tout réel x, on a : \mathrm{e}^{-x}\times \mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{-x+x}=\mathrm{e}^{0}=1.
Donc, pour tout réel x, \mathrm{e}^{-x}=\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}.
2 On va démontrer par récurrence que pour tout réel x et pour tout entier naturel n, on a : \left( \mathrm{e}^{x} \right)^{n}=\mathrm{e}^{nx}.
Initialisation : on a \left( \mathrm{e}^{x} \right)^{0}=1 et \mathrm{e}^{0\times x}=1
Donc, pour tout réel x, \left( \mathrm{e}^{x} \right)^{0}=\mathrm{e}^{0\times x}.
La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : on suppose la propriété vraie à un rang n donné.
Pour tout réel x, on a : \left( \mathrm{e}^{x} \right)^{n}=\mathrm{e}^{nx}.
Au rang n+1, on a : \left( \mathrm{e}^{x} \right)^{n+1}=\left( \mathrm{e}^{x} \right)^{n}\times \mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{nx}\times \mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{(n+1)x}.
La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier n.
Donc, pour tout réel x et pour tout entier naturel n, on a : \left( \mathrm{e}^{x} \right)^{n}=\mathrm{e}^{nx}.
Partie B
1 
On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par : u_{n}=\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{e}^{-nx}}{1+\mathrm{e}^{-x}}\,\mathrm{d}x.
a) On a :
u_{0}+u_{1}= \int_{0}^{1}\frac{\mathrm{e}^{-0\times x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}\,\mathrm{d}x+ \int_{0}^{1}\frac{\mathrm{e}^{-1\times x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}\,\mathrm{d}x
u_{0}+u_{1} = \int_{0}^{1}\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}\,\mathrm{d}x+ \int_{0}^{1}\frac{\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}\,\mathrm{d}x.
Par linéarité de l'intégrale, on a :
u_{0}+u_{1}= \int_{0}^{1}\frac{1+\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}\,\mathrm{d}x= \int_{0}^{1}1\ \,\mathrm{d}x=[x]_{0}^{1}=1.
Donc u_{0}+u_{1}=1.
b) On a u_{1}= \int_{0}^{1}\frac{\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}\,\mathrm{d}x.
On pose, pout tout réel x, u(x)=1+\mathrm{e}^{-x}, d'où u'(x)=-\mathrm{e}^{-x}.
Par conséquent \frac{\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}=-\frac{u'(x)}{u(x)}.
Or une primitive de x\mapsto\frac{u'(x)}{u(x)} est x\mapsto \ln(u(x)).
Donc, une primitive de x\mapsto\frac{\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}} est x\mapsto-\ln(1+\mathrm{e}^{-x}).
D'où u_{1}=[-\ln(1+\mathrm{e}^{-x})]_{0}^{1}=-\ln(1+\mathrm{e}^{-1})+\ln(1+\mathrm{e}^{0}),
soit u_{1}=-\ln(1+\frac{1}{\mathrm{e}})+\ln2.
On sait, d'après le a), que u_{0}+u_{1}=1.
Donc u_{0}=1+\ln(1+\frac{1}{\mathrm{e}})-\ln2.
2 Pour tout entier naturel n et pour tout réel x,
\mathrm{e}^{-nx}>0 et 1+\mathrm{e}^{-x}>0,
donc \frac{\mathrm{e}^{-nx}}{1+\mathrm{e}^{-x}}>0.
Par conséquent : u_{n}=\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{e}^{-nx}}{1+\mathrm{e}^{-x}}\,\mathrm{d}x\ge 0.
3 
a) 
Pour tout entier n non nul, on a :
u_{n}+u_{n+1}= \int_{0}^{1}\frac{\mathrm{e}^{-nx}}{1+\mathrm{e}^{-x}}\,\mathrm{d}x+ \int_{0}^{1}\frac{\mathrm{e}^{-(n+1)x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}\,\mathrm{d}x.
Par linéarité de l'intégrale, on a :
u_{n}+u_{n+1}= \int_{0}^{1}\frac{\mathrm{e}^{-nx}+\mathrm{e}^{-(n+1)x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}\,\mathrm{d}x= \int_{0}^{1}\frac{\mathrm{e}^{-nx}+\mathrm{e}^{-nx}\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}\,\mathrm{d}x
u_{n}+u_{n+1}= \int_{0}^{1}\frac{\mathrm{e}^{-nx}(1+\mathrm{e}^{-x})}{1+\mathrm{e}^{-x}}\,\mathrm{d}x= \int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-nx}\,\mathrm{d}x.
D'où u_{n}+u_{n+1}=[-\frac{1}{n}\mathrm{e}^{-nx}]_{0}^{1}=-\frac{1}{n}\mathrm{e}^{-n}+\frac{1}{n}\mathrm{e}^{-n\times 0}.
Conclusion : pour tout entier n non nul, u_{n}+u_{n+1}=\frac{1-\mathrm{e}^{-n}}{n}.
b) D'après le 2., pour tout entier naturel n, u_{n}\ge 0, donc u_{n+1}\ge 0.
Or u_{n}+u_{n+1}=\frac{1-\mathrm{e}^{-n}}{n}, d'où u_{n}=\frac{1-\mathrm{e}^{-n}}{n}-u_{n+1}.
Donc, pour tout entier naturel n non nul : u_{n}\le \frac{1-\mathrm{e}^{-n}}{n}.
4 Pour tout entier n non nul, on a :
0\le u_{n} \le \frac{1-\mathrm{e}^{-n}}{n}.
Or \frac{1-\mathrm{e}^{-n}}{n}=\frac{1}{n}\times (1-\mathrm{e}^{-n}).
Lorsque n\rightarrow +\infty on a : \frac{1}{n}\rightarrow 0 et \mathrm{e}^{-n}\rightarrow 0.
Donc \lim_{n\to+\infty}(1-\mathrm{e}^{-n})=1 et par produit, \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\times (1-\mathrm{e}^{-n})=0.
D'après le théorème des gendarmes, \lim_{n\to+\infty}u_{n}=0.