Amérique du Nord, juin 2010, exercice 2

Énoncé

Une urne contient des boules indiscernables au toucher.
20 % des boules portent le numéro 1 et sont rouges.
Les autres portent le numéro 2 et, parmi elles, 10 % sont rouges, les autres sont vertes.
1 On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit rouge ?
2 On a tiré une boule au hasard. Elle est rouge.
Montrer que la probabilité qu'elle porte le numéro 2 est égale à \frac{2}{7}.
3 
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On effectue n tirages successifs d'une boule avec remise (après chaque tirage la boule est remise dans l'urne).
a) Exprimer en fonction de n la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des n tirages.
b) Déterminer l'entier n à partir duquel la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des n tirages est supérieure ou égale à 0,99.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances

Thèmes du programme
Formule des probabilités totales, probabilités conditionnelles, événement contraire, logarithme népérien.
Probabilités totales
Probabilités conditionnelles
Logarithme népérien
Nos conseils
1 Utiliser la formule des probabilités totales et la formule des probabilités conditionnelles.
2 Utiliser la formule des probabilités conditionnelles.
3 
a) Penser à passer par l'événement contraire.
b) Résoudre une inéquation à l'aide du logarithme népérien.

Corrigé

1 On note N 1, l'événement « la boule porte le numéro 1 » ;
on note N 2, l'événement « la boule porte le numéro 2 » ;
on note R, l'événement « la boule est rouge » ;
on note V, l'événement « la boule est verte ».
20 % des boules portent le numéro 1 donc : p(N_{1})=0,2.
Les boules qui portent le numéro 1 sont rouges donc : p_{N_{1}}(R)=1.
Les autres boules portent le numéro 2 donc : p(N_{2})=1-0,2=0,8.
Parmi les boules avec le numéro 2, 10 % sont rouges donc :
p_{N_{2}}(R)=0,1 et p_{N_{2}}(V)=0,9.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
p(R)=p(N_{1}\cap R)+p(N_{2}\cap R)
p(R)=p(N_{1})\times p_{N_{1}}(R)+p(N_{2})\times p_{N_{2}}(R).
D'où p(R)=0,2\times 1+0,8\times 0,1=0,28.
La probabilité que la boule tirée soit rouge est donc égale à 0,28.
2 On cherche la probabilité que la boule tirée porte le numéro 2 sachant qu'elle est rouge. C'est-à-dire : p_{R}(N_{2})=\frac{p(N_{2}\cap R)}{p(R)}=\frac{0,8\times 0,1}{0,28}=\frac{0,08}{0,28}=\frac{2}{7}.
Donc la probabilité que la boule tirée porte le numéro 2 sachant qu'elle est rouge est égale à : \frac{2}{7}.
3 
Soit n un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2.
a) L'événement « obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des n tirages » est l'événement contraire de « n'obtenir aucune boule rouge portant le numéro 1 au cours des n tirages ».
Les tirages sont successifs avec remise. La probabilité de n'obtenir aucune boule rouge portant le numéro 1 au cours des n tirages est égale à 0,8^{n}. Donc la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des n tirages est égale à : 1-0,8^{n}.
b) On cherche le plus petit entier n tel que : 1-0,8^{n}\ge 0,99
\Leftrightarrow -0,8^{n}\ge 0,99-1
\Leftrightarrow -0,8^{n}\ge -0,01
\Leftrightarrow 0,8^{n}\le 0,01, on multiplie les deux membres par −1
\Leftrightarrow \ln(0,8^{n})\le \ln(0,01), car le fonction ln est strictement croissante
\Leftrightarrow n\ln(0,8)\le \ln(0,01), car \ln a^{n}=n\ln a
\Leftrightarrow n\ge \frac{\ln(0,01)}{\ln(0,8)}, car \ln(0,8)<0.
Et \frac{\ln(0,01)}{\ln(0,8)}\approx 20,6.
Il faut donc au moins 21 tirages pour que la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 soit supérieure ou égale à 0,99.