Amérique du Nord, juin 2010, exercice 1

Énoncé

L'espace est rapporté à un repère orthonormal (\mathrm{O}\,;\,\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k}).
Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives : A(1 ;  −2 ; 4), B(−2 ;  −6 ; 5) et C(−4 ; 0 ;  −3).
1 
a) Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
b) Démontrer que le vecteur \vec{n}(1\,;\,-1\,;\,-1) est un vecteur normal au plan (ABC).
c) Déterminer une équation du plan (ABC).
2 
a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point O et orthogonale au plan (ABC).
b) Déterminer les coordonnées du point O', projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC).
3 
On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur la droite (BC).
Soit t le réel tel que \overrightarrow{\mathrm{BH}} = t\,\overrightarrow{\mathrm{BC}}.
a) Démontrer que t=\frac{\overrightarrow{\mathrm{BO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}}{\Vert\overrightarrow{\mathrm{BC}}^{2}\Vert}
b) En déduire le réel t et les coordonnées du point H.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances

Thèmes du programme
Représentation paramétrique d'une droite, projeté orthogonal, relation de Chasles, vecteur normal, produit scalaire, vecteur directeur, équation cartésienne d'un plan.
Vecteur normal
Vecteurs colinéaires
Vecteur directeur
Projeté orthogonal
Produit scalaire
Relation de Chasles
Nos conseils
1 
a) On démontre qu'il existe deux vecteurs constitués par ces trois points qui sont non colinéaires, ce qui entraîne que A, B et C ne sont pas alignés.
b) On montre que le produit scalaire de \overrightarrow{n} avec chacun des deux vecteurs précédemment déterminés est nul.
c) Une équation cartésienne d'un plan est de la forme a x  +  by  +  cz  +  d  = 0.
On remarque que \overrightarrow{n} est un vecteur normal de (ABC), a, b et c sont ainsi déterminés.
Pour déterminer d on utilise l'hypothèse que C appartient à (ABC).
2 
a) On remarque que \overrightarrow{n} est un vecteur directeur de la droite (d) dont on recherche la représentation paramétrique et on utilise le fait que O appartient à (d).
b) Cela revient à déterminer le point d'intersection de (d) avec (ABC). Pour cela on utilise la propriété qui dit que les coordonnées du point d'intersection de deux ensembles doivent vérifier les équations de ces deux ensembles.
3 
a) On exprime \overrightarrow{\mathrm{BO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}} en utilisant la relation de Chasles et le fait que H est le projeté orthogonal de O sur la droite (BC).
b) Pour déterminer t, il suffit d'effectuer le calcul de \overrightarrow{\mathrm{BO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}.

Corrigé

1 
a) Pour démontrer que les points A, B, C ne sont pas alignés, on va démontrer que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} ne sont pas colinéaires.
\overrightarrow{\mathrm{AB}}(-3\,;\,-4\,;\,1)
\overrightarrow{\mathrm{AC}}(-5\,;\,2\,;\,-7)
Les vecteurs sont colinéaires lorsqu'il existe un réel k tel que :
\left\lbrace\begin{array}{l}-3=k\times (-5)\\-4=k\times 2\\1=k\times (-7)\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}k=\frac{3}{5}\\k=-2\\k=\frac{-1}{7}\end{array}\right., ce qui est impossible.
Les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{BC}} ne sont pas colinéaires ; les points A, B et C ne sont pas alignés.
b)  \vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=1\times (-3)+(-1)\times (-4)+(-1)\times 1
\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}} =-3+4-1
\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}} =0.
\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}} = 1\times (-5)+(-1)\times 2+(-1)\times (-7)
\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}} =-5-2+7
\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}} =0
Le vecteur \vec{n} est donc orthogonal aux vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
Les points A, B et C ne sont pas alignés, ils définissent un plan : (ABC).
Donc le vecteur \vec{n} est un vecteur normal au plan (ABC).
c) Le vecteur \vec{n} est un vecteur normal au plan (ABC), donc une équation du plan (ABC) est :
x-y-z+d=0, avec d\in\mathbb{R}.
Le point C appartient au plan (ABC), ses coordonnées vérifient l'équation du plan : -4+3+d=0\ \Leftrightarrow \ d=1.
Donc une équation du plan (ABC) est : x-y-z+1=0.
2 
a) Un vecteur normal au plan (ABC) est un vecteur directeur de toute droite orthogonale au plan (ABC).
Donc le vecteur \vec{n}(1\,;\,-1\,;\,-1) est un vecteur directeur de la droite d passant par le point O et orthogonale au plan (ABC).
Une équation paramétrique de d est : \left\lbrace\begin{array}{l}x=t\\y=-t\\z=-t\end{array}\right., t\in\mathbb{R}.
b) Le point O', projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC), appartient à d et à (ABC). Les coordonnées du point O' doivent vérifier les deux équations :
x-y-z+1=0 et \left\lbrace\begin{array}{l}x=t\\y=-t\\z=-t\end{array}\right..
On remplace x par t, y par − t et z par − t dans l'équation de d. On trouve alors :
t+t+t+1=0\ \Leftrightarrow \ t=\frac{-1}{3}.
On remplace enfin t par \frac{-1}{3} pour déterminer x, y et z.
Les coordonnées du point O' sont : \left (-\frac{1}{3}\,;\,\frac{1}{3}\,;\,\frac{1}{3}\right).
3 
a) On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur la droite (BC).
On a \overrightarrow{\mathrm{HO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=0, d'où :
\overrightarrow{\mathrm{BO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(\overrightarrow{\mathrm{BH}}+\overrightarrow{\mathrm{HO}})\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{BH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{HO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{BH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}.
Or \overrightarrow{\mathrm{BH}}=t\overrightarrow{\mathrm{BC}} avec t\in\mathbb{R}.
Donc \overrightarrow{\mathrm{BO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=t\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=t \Vert \overrightarrow{\mathrm{BC}} \Vert ^{2}.
D'où t=\frac{\overrightarrow{\mathrm{BO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}}{\Vert \overrightarrow{\mathrm{BC}} \Vert ^{2}}.
b) 
On a \overrightarrow{\mathrm{BO}}(2\,;\,6\,;\,-5) et \overrightarrow{\mathrm{BC}}(-2\,;\,6\,;\,-8), d'où :
\overrightarrow{\mathrm{BO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=2\times (-2)+6\times 6+(-5)\times (-8)=72,
et \Vert \overrightarrow{\mathrm{BC}} \Vert ^{2}=(-2)^{2}+(6)^{2}+(-8)^{2}=104.
Donc t=\frac{72}{104}=\frac{9}{13}.
Par conséquent \overrightarrow{\mathrm{BH}}=\frac{9}{13} \overrightarrow{\mathrm{BC}}, soit :
\left\lbrace\begin{array}{l}x_{\mathrm{H}}-x_{\mathrm{B}}=\frac{9}{13}\times (-2)\\y_{\mathrm{H}}-y_{\mathrm{B}}=\frac{9}{13}\times 6\\z_{\mathrm{H}}-z_{\mathrm{B}}=\frac{9}{13}\times (-8)\end{array}\right. \Leftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{l}x_{H}=\frac{-44}{13}\\y_{H}=\frac{-24}{13}\\z_{H}=\frac{-7}{13}\end{array}\right..
Les coordonnées du point H sont : (\frac{-44}{13}\,;\,\frac{-24}{13}\,;\,\frac{-7}{13}).