Sujet national, septembre 2009, exercice 2

Énoncé

L'espace est muni d'un repère orthonormal (\mathrm{O}\,;\,\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k}).
1 On désigne par \mathcal{P} le plan d'équation x + y − 1 = 0 et par \mathcal{P'} le plan d'équation y + z − 2 = 0.
Justifier que les plans \mathcal{P} et \mathcal{P}' sont sécants et vérifier que leur intersection est la droite \mathcal{D}, dont une représentation paramétrique est : \left\lbrace\begin{array}{l}x = 1 - t\\ y = t\\ z = 2 - t\end{array}\right.t désigne un nombre réel.
2 
a) Déterminer une équation du plan \mathcal{R} passant par le point O et orthogonal à la droite \mathcal{D}.
b) Démontrer que le point I, intersection du plan \mathcal{R} et de la droite \mathcal{D}, a pour coordonnées (0 ; 1 ; 1).
3 
Soient A et B les points de coordonnées respectives \left(-\frac{1}{2}\,;\,0\,;\,\frac{1}{2}\right) et (1 ; 1 ; 0).
a) Vérifier que les points A et B appartiennent au plan \mathcal{R}.
b) On appelle A' et B' les points symétriques respectifs des points A et B par rapport au point I. Justifier que le quadrilatère ABA'B' est un losange.
c) Vérifier que le point S de coordonnées (2 ; −1 ; 3) appartient à la droite \mathcal{D}.
d) Calculer le volume de la pyramide SABA'B'.
On rappelle que le volume V d'une pyramide de base d'aire b et de hauteur h est : V = \frac{1}{3}b \times h.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances

Thèmes du programme
Représentation paramétrique d'une droite, plans sécants, losange, pyramide, équation cartésienne d'un plan.
Vecteurs colinéaires
Représentation paramétrique d'une droite
Vecteurs orthogonaux
Équation cartésienne (d'un plan)
Nos conseils
1 
Pour montrer que deux plans sont sécants, il suffit de montrer que ces plans ont des vecteurs normaux non colinéaires. Une droite est incluse dans un plan de l'espace si et seulement si les coordonnées de chaque point de cette droite vérifient l'équation cartésienne de ce plan. On montre ainsi que \mathcal{D} est incluse dans \mathcal{P} et \mathcal{P'}.
2 
a) Une équation cartésienne d'un plan est de la forme ax + by + cz + d = 0.
On remarque qu'un vecteur directeur de \mathcal{D} est un vecteur normal de \mathcal{R}, ce qui permet de déterminer a, b et c.
Pour déterminer d on utilise le fait que le point O appartient à \mathcal{R}.
b) On utilise la propriété qui dit que les coordonnées du point d'intersection de deux ensembles doivent vérifier les équations de ces deux ensembles.
3 
a) Un point appartient à un plan si et seulement si ses coordonnées vérifient une équation cartésienne de ce plan.
b) On démontre d'abord que ABA'B est un parallélogramme puis que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AI}} et \overrightarrow{\mathrm{BI}} sont orthogonaux.
c) On remplace x, y et z par les coordonnées de S dans le système paramétrique de \mathcal{D} et on résout le système obtenu.
d) Pour appliquer la formule donnant le volume d'une pyramide, on doit d'abord déterminer la hauteur de la pyramide et calculer l'aire d'un losange, base de la pyramide.

Corrigé

1 Le plan \mathcal{P} a pour équation x + y - 1 = 0, un vecteur normal du plan \mathcal{P} a pour coordonnées (1 ; 1 ; 0).
Le plan \mathcal{P}' a pour équation y + z - 2 = 0, un vecteur normal du plan \mathcal{P}' a pour coordonnées (0  ; 1  ; 1).
On a : 1 \times 0 + 1\times 1 \neq 0, donc les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires, les plans ne sont pas parallèles, ils sont donc sécants.
On va vérifier que la droite \mathcal{D} est contenue dans les plans \mathcal{P} et \mathcal{P}' en remplaçant x par (1 - t) ; y par t et z par (2 - t) dans les équations des deux plans.
Quelque soit le réel t on a : (1 - t) + t - 1 = 1 - t + t = 0 donc \mathcal{D} \subset \mathcal{P} et t + (2 - t) - 2 = 0 donc \mathcal{D} \subset \mathcal{P}'.
Conclusion : les deux plans \mathcal{P} et \mathcal{P}' sont sécants et leur intersection est la droite \mathcal{D}.
2 
a) Le plan \mathcal{R} est orthogonal à la droite \mathcal{D} donc un vecteur directeur de \mathcal{D} est un vecteur normal au plan \mathcal{R}.
Un vecteur directeur de la droite \mathcal{D} a pour coordonnées (−1 ; 1 ; −1) ; le plan \mathcal{R} a donc une équation de la forme : -x + y - z + d = 0.
On sait que le point O(0 ; 0 ; 0) appartient au plan \mathcal{R}, ses coordonnées doivent donc vérifier son équation, c'est-à-dire : - 0 + 0 - 0 + d = 0 ; soit d = 0.
Conclusion : le plan \mathcal{R} a pour équation : -x + y - z = 0.
b) Pour déterminer les coordonnées du point I, intersection de la droite \mathcal{D} et du plan R, on cherche la valeur de t : pour cela on remplace x par (1 - t), y par t et z par (2 - t) dans l'équation du plan \mathcal{R}.
On obtient alors : - (1 - t) + t - (2 - t) = 0 soit - 1 + t + t - 2 + t = 0,
c'est-à-dire 3t - 3 = 0 d'où t = 1.
On remplace alors t par 1 dans l'équation paramétrique de la droite \mathcal{D},
on a x I = 1 − 1 ; y I = 1 et z I = 2 − 1.
Conclusion : I(0 ; 1 ; 1).
3 
a) On remplace les coordonnées du point A dans l'équation du plan \mathcal{R} : -(-\frac{1}{2})+0-\frac{1}{2}=0. Donc A \in \mathcal{R}.
Pour le point B(1 ; 1 ; 0), on a -1 + 1 - 0 = 0, donc B \in \mathcal{R}.
b) A' est le symétrique de A par rapport à I donc I est le milieu de [AA'].
B' est le symétrique de B par rapport à I donc I est le milieu de [BB'].
Le quadrilatère ABA'B' est un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leur milieu.
On a : \overrightarrow{\mathrm{AI}}\left(\frac{1}{2}\,;\,1\,;\,\frac{1}{2}\right) et \overrightarrow{\mathrm{BI}}(-1\,;\,0\,;\,1) d'où {\overrightarrow{\mathrm{AI}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BI}}=0}.
Donc les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AI}} et \overrightarrow{\mathrm{BI}} sont orthogonaux, les droites (AI) et (BI) sont perpendiculaires.
ABA'B' est donc un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires, c'est un losange.
c) Pour vérifier que le point S appartient à la droite \mathcal{D}, on va remplacer x, y et z par les coordonnées du point S dans l'équation paramétrique de la droite \mathcal{D} et vérifier que pour chaque égalité on obtient la même valeur pour le paramètre t.
On a x = 2 d'où : 2 = 1 - t, c'est-à-dire t = -1.
On a y = -1 d'où : -1 = t.
On a z = 3 d'où : 3 = 2 - t, c'est-à-dire t = -1.
Conclusion : le point S de coordonnées (2 ; −1 ; 3) appartient à la droite \mathcal{D}.
d) Pour calculer le volume de la pyramide SABA'B', il faut déterminer l'aire de sa base, le losange ABA'B' et la longueur de la hauteur relative à cette base.
\mathcal{A}_{\mathrm{ABA'B'}} = \mathcal{A}_{\mathrm{ABI}} + \mathcal{A}_{\mathrm{AIB'}} + \mathcal{A}_{\mathrm{BIA'}} + \mathcal{A}_{\mathrm{B'IA'}} = 2 \times (\mathrm{AI} \times \mathrm{BI}).
On a \mathrm{AI}=\sqrt{\frac{1}{4}+1+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{2}} et \mathrm{BI}=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}.
Donc \mathcal{A}_{\mathrm{ABA'B'}}= 2\times\sqrt{\frac{3}{2}}\times\sqrt{2}=2\sqrt{3}.
On a vu que le point I est le point d'intersection du plan \mathcal{R} et de la droite \mathcal{D}. Le plan \mathcal{R} est orthogonal à la droite \mathcal{D}. Le point S appartient à la droite \mathcal{D}.
Donc le segment [SI] est la hauteur de la pyramide SABA'B' relative à la base ABA'B'.
On a : \mathrm{SI}=\sqrt{4+4+4}=2\sqrt{3}.
Donc le volume de la pyramide SABA'B' est égal à :
V_{\mathrm{SABA'B'}}=\frac{1}{3}\times2\sqrt{3}\times2\sqrt{3}=4.