Polynésie, septembre 2009, exercice 2

Énoncé

Pour chaque question, deux propositions sont énoncées. Il s'agit de dire, sans le justifier, si chacune d'elles est vraie ou fausse.
1 
Une urne contient 4 boules noires et 3 boules rouges indiscernables au toucher. On tire deux boules au hasard simultanément. On considère les événements :
A : « les deux boules tirées sont de la même couleur » ;
B : « une seule des deux boules tirées est rouge ».
Proposition 1 : la probabilité de A est égale à \frac{3}{7}.
Proposition 2 : la probabilité de B est égale à \frac{1}{7}.
2 
Soient A, B et C trois événements d'un même univers \Omega muni d'une probabilité P.
On sait que :
  • A et B sont indépendants ;
  • P(A) = \frac{2}{5} ; P(A \cup B) = \frac{3}{4} ;
  • P(C) = \frac{1}{2} ; P(A \cap C) = \frac{1}{10}.
Proposition 3 : P(B) = \frac{7}{12}.
Proposition 4 : P(\overline{A\cup{C}}) = \frac{2}{5}.
(\overline{A\cup{C}}) désigne l'événement contraire de A \cup C.
3 
Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et pn est égal à 4 et p appartient à ]0 ; 1[.
Proposition 5 : si P(X = 1)=8P(X = 0) alors p = \frac{2}{3}.
Proposition 6 : si p = \frac{1}{5} alors P(X = 1) = P(X = 0).
4 
La durée de vie, exprimée en années, d'un appareil est modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre \lambda = 0,07 sur [0\,;\,+\infty[.
On rappelle que pour tout t > 0, la probabilité de l'événement (X\,\leqslant\,t) est donnée par :
P(X \leq t) = \int^{t}_{0}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda{x}}\,\mathrm{d}x (avec \lambda = 0,07).
Proposition 7 : la probabilité que l'appareil ait une durée de vie supérieure à 10 ans est égale à 0,5 à 10 −2 près.
Proposition 8 : sachant que l'appareil a fonctionné 10 ans, la probabilité qu'il fonctionne encore 10 ans est égale à 0,5 à 10 −2 près.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances

Thèmes du programme
Formule de Laplace, loi binomiale, formule des probabilités totales, conditionnelles, événement contraire, loi exponentielle.
loi binomiale
probabilités totales
probabilités conditionnelles
Loi exponentielle
Nos conseils
1 Utiliser la formule donnant la probabilité d'un événement E dans le cas équiprobable : P(E)=\frac{\textrm{nombre de cas favorables}}{\textrm{nombre de cas possibles}}
2 Utiliser la formule :
P(A)+P(B)=P(A \cap B) +P(A \cup B).
3 Se rappeler la formule donnant P(X = k) quand X suit une loi binomiale.
4 Appliquer la formule de la loi exponentielle donnée en prenant l'événement contraire. Se rappeler que la loi exponentielle est dite « sans vieillissement ».

Corrigé

1 
Proposition 1 : vraie.
On considère l'événement A : « les deux boules tirées sont de la même couleur », les deux boules doivent donc être noires ou rouges.
Il y a {4\choose2}=6 possibilités de tirer 2 boules noires.
Il y a {3\choose2}=3 possibilités de tirer 2 boules rouges.
Au total il y a {7\choose2}=21 possibilités de tirer 2 boules.
On sait que P(A)=\frac{\textrm{nombre de cas favorables}}{\textrm{nombre de cas possibles}}.
Donc : P(A)=\frac{6+3}{21}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}.
La proposition 1 est donc vraie.
Proposition 2 : fausse.
On considère l'événement B : « une seule des deux boules tirées est rouge », il faut donc tirer une boule rouge et une boule noire.
Il y a {4\choose1}=4 possibilités de tirer 1 boule noire.
Il y a {3\choose1}=3 possibilités de tirer 1 boule rouge.
Au total il y a {7\choose2}=21 possibilités de tirer 2 boules.
Donc : P(B)=\frac{4\mathcal{\times}3}{21}=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}.
La proposition 2 est donc fausse.
2 
Proposition 3 : vraie.
A et B sont indépendants signifie que P(A \cap B) = P(A)\times P(B).
Or P(A \cap B) = P(A)+P(B)-P(A \cup B).
Donc : P(A)\times P(B) = P(A)+P(B)-P(A \cup B)
P(A)\times P(B) - P(B) = P(A)- P(A \cup B)
P(B)\times (P(A) -1) = P(A)- P(A \cup B).
Soit P(B)=\frac{P(A)-P(A \cup B)}{P(A)-1}.
On a donc avec les valeurs numériques :
P(B)=\frac{\frac{2}{5}-\frac{3}{4}}{\frac{2}{5}-1}=\frac{-\frac{7}{20}}{-\frac{3}{5}}=\frac{7}{20}\mathcal{\times}\frac{5}{3}=\frac{7}{12}.
La proposition 3 est donc vraie.
Proposition 4 : fausse.
On a : P\left(\overline{ A \cup C }\right)=1-P( A \cup C )=
1-\left[P( A )+P( C )-P( A \cap C )\right]
d'où : P\left(\overline{ A \cup C }\right)=1-P( A )-P( C )+P( A \cap C )=1-\frac{2}{5}-\frac{1}{2}+\frac{1}{10}
P\left(\overline{ A \cup C }\right)=\frac{10-4-5+1}{10}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.
La proposition 4 est donc fausse.
3 
Proposition 5 : vraie.
On sait que P(X=k)={4\choose k}p^{k}(1-p)^{4-k}.
D'où P(X=0)={4\choose0}p^{0}(1-p)^{4-0}=(1-p)^{4}
et P(X=1)={4\choose1}p^{1}(1-p)^{4-1}=4P(1-p)^{3}.
Donc, comme p\neq1, P(X = 1) = 8 \times P(X = 0) \Leftrightarrow 4p (1-p)^3= 8(1-p)^4
\Leftrightarrow 4p = 8(1- p) \Leftrightarrow 12p = 8 \Leftrightarrow p=\frac{8}{12} \Leftrightarrow p=\frac{2}{3}.
La proposition 5 est donc vraie.
Proposition 6 : vraie.
Pour p=\frac{1}{5}, on a : P(X=0)=\left(1-\frac{1}{5}\right)^{4}=\left(\frac{4}{5}\right)^{4}
et P(X=1)=4\times\frac{1}{5}\left(1-\frac{1}{5}\right)^{3}=\left(\frac{4}{5}\right)^{4}.
Donc lorsque p=\frac{1}{5} on a P(X=0)=P(X=1).
La proposition 6 est donc vraie.
4 
Proposition 7 : vraie.
La probabilité d'avoir une durée de vie inférieure à 10 ans est :
\int_{0}^{10}0,07\mathrm{e}^{-0,07x}\:\mathrm{d}x=\left[-\mathrm{e}^{-0,07x}\right]_{0}^{10}=-\mathrm{e}^{-0,7}+1.
La probabilité contraire est donc e −0,7 = 0,50 à 10 −2 près.
La proposition 7 est donc vraie.
Proposition 8 : vraie.
Le vieillissement initial de l'appareil n'intervient pas, donc la probabilité cherchée est la même que la précédente soit 0,5 à 10 −2 près.
La proposition 8 est donc vraie.