Amérique du Nord, juin 2009, exercice 3

Énoncé

On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1.
Amérique du Nord, juin 2009, exercice 3 - illustration 1
On note I le centre de la face ADHE, J celui de la face ABCD et K le milieu du segment [IJ].
L'espace est rapporté au repère orthonormal (\mathrm{A}\,;\,\overrightarrow{\mathrm{AB}},\,\overrightarrow{\mathrm{AD}},\,\overrightarrow{\mathrm{AE}}).
1 Déterminer les coordonnées des points I, J et K dans ce repère.
2 Démontrer que les points A, K et G ne sont pas alignés.
3 
a) Démontrer que le plan médiateur du segment [IJ] est le plan (AKG).
b) Déterminer une équation cartésienne du plan (AKG).
c) Vérifier que le point D appartient au plan (AKG).

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances

Thèmes du programme
Cube, repère, alignement, vecteurs colinéaires, plan médiateur, équation cartésienne d'un plan.
vecteurs colinéaires
repère orthonormal
équation cartésienne d'un plan
Nos conseils
1 Utiliser la définition : dire que M a pour coordonnées (x ; y ; z) dans le repère (\mathrm{A}\;;\;\overrightarrow{\mathrm{AB}},\;\overrightarrow{\mathrm{AD}},\;\overrightarrow{\mathrm{AE}}), signifie qu'il existe des réels x, y et z tels que \overrightarrow{\mathrm{AM}}=x\overrightarrow{\mathrm{AB}}+y\overrightarrow{\mathrm{AD}}+z\overrightarrow{\mathrm{AE}}.
2 On démontre qu'il existe deux vecteurs constitués par ces trois points qui sont non colinéaires, ce qui entraîne que A, K et G ne sont pas alignés.
3 
a) K étant le milieu du segment [IJ], il suffit de prouver que \overrightarrow{\mathrm{IJ}} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (AKG).
b) Une équation cartésienne d'un plan est de la forme ax + by + cz + d = 0.
On remarque que \overrightarrow{\mathrm{IJ}} est un vecteur normal de (AKG), ce qui permet de déterminer a, b et c.
Pour déterminer d on utilise le fait que le point A appartient à (AKG).
c) Un point appartient à un plan si et seulement si ses coordonnées vérifient une équation cartésienne de ce plan.

Corrigé

1 I est le centre de la face ADHE, donc {\overrightarrow{\mathrm{AI}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AD}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AE}}}, d'où :
\mathrm{I}\left({0\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}}\right).
J est le centre de la face ABCD, donc {\overrightarrow{\mathrm{AJ}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AD}}}, d'où :
\mathrm{J}\left({\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,0}\right).
K est le milieu de [IJ], d'où \mathrm{K}\left({\frac{1}{4}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{4}}\right).
2 On a \overrightarrow{\mathrm{AG}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AD}} + \overrightarrow{\mathrm{AE}}, d'où G(1 ; 1 ; 1).
Comme A est l'origine du repère, on a :
\overrightarrow{\mathrm{AK}}\left({\frac{1}{4}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{4}}\right) et \overrightarrow{\mathrm{AG}}\left({1\,;\,1\,;\,1}\right).
Les coordonnées de ces vecteurs ne sont pas proportionnelles, les vecteurs ne sont pas colinéaires, et les points ne sont donc pas alignés.
3 
a)  \overrightarrow{\mathrm{IJ}} a pour coordonnées \left({\frac{1}{2} - 0\,;\,\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\,;\,0 - \frac{1}{2}}\right) ou encore \left({\frac{1}{2}\,;\,0\,; - \frac{1}{2}}\right).
\overrightarrow{\mathrm{IJ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AK}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} + 0 \times \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = 0
donc \overrightarrow{\mathrm{IJ}} est orthogonal à \overrightarrow{\mathrm{AK}}.
\overrightarrow{\mathrm{IJ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}} = \frac{1}{2} \times 1 + 0 \times 1 - \frac{1}{2} \times 1 = 0
donc \overrightarrow{\mathrm{IJ}} est orthogonal à \overrightarrow{\mathrm{AG}}.
Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{IJ}} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (AGK), le plan (AGK) est donc orthogonal à (IJ). (AGK) est donc le plan orthogonal à (IJ) qui passe par le milieu K de [IJ], c'est le plan médiateur de [IJ].
b) (AGK) admet le vecteur \overrightarrow{\mathrm{IJ}} comme vecteur normal. Il admet donc une équation cartésienne de la forme :
\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}z + d = 0.
Le point A(0; 0; 0) vérifie cette équation, d'où d = 0.
Conclusion : le plan (AGK) admet pour équation cartésienne :
\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}z = 0 ou plus simplement x - z = 0.
c) Les coordonnées (0 ; 1 ; 0) du point D vérifient l'équation de (AGK) (0 − 0 = 0), donc D appartient à (AGK).