La fonction logarithme népérien est très utile pour simplifier certaines expressions mathématiques. Elle permet de convertir une multiplication en addition, une division en soustraction, une puissance en multiplication, une racine en division. Elle offre également la possibilité de résoudre les équations dont l'inconnue, qui est un nombre entier, figure en exposant.
1. Comment définir la fonction logarithme népérien ?
La fonction logarithme népérien notée ln, est la seule fonction définie sur l'intervalle ]0;+\infty[, qui a tout réel strictement positif associe l'unique solution de l'équation d'inconnue y : e^{y}=x.
On note cette solution y = ln x.
Conséquences : quelque soit le nombre réel x strictement positif, on a :
  • pour tout réel y : e^{y}=x si et seuleument si y=lnx ;
  • e^{lnx}=x ;
  • pour tout nombre réel y : ln(e^{y})=y ;
  • ln 1 = 0 ; ln e = 1 et ln(\frac{1}{e})=-1.
Exercice n°1
2. Comment varie la fonction logarithme népérien ?
Propriétés
Fonction dérivée : pour tout réel x strictement positif, on a ln'(x)=\frac{1}{x}.

Tableau de variation :
Fonction logarithme - illustration 1
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur l'intervalle ]0;+\infty[.
\lim_{x \to 0^+}lnx=-\infty et \lim_{x\to+\infty}ln x=+\infty.
Courbe représentative de la fonction logarithme népérien
Fonction logarithme - illustration 2
Les courbes représentatives des fonction ln et exp sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.
Fonction logarithme - illustration 3
3. Quelles propriétés algébriques de la fonction ln faut-il connaître ?
Relation fonctionnelle
Pour tous nombres réels a et b strictement positifs on a : ln(ab) = ln (a) + ln (b).
Exemple : ln 6 = ln 2 + ln 3. Car 6 = 2 × 3.
Propriétés
Pour tous nombres réels a et b strictement positifs, pour tout nombre entier n on a :
  • logarithme népérien d'un quotient : ln(\frac{a}{b})=lna-lnb ;
  • logarithme népérien d'un inverse : ln(\frac{1}{a})=-lna ;
  • logarithme népérien d'une puissance : ln(a^{n})=nlna ;
  • logarithme népérien d'une racine carrée : ln(\sqrt{a})=\frac{1}{2}ln a.
Exercice n°2
4. Comment calculer la dérivée d'une fonction du type ln (u) ?
Soit u une fonction définie, continue, dérivable et strictement positive, on a (ln(u))'=\frac{u'}{u}.
Exercice n°5Exercice n°6
À retenir
Quelque soit le nombre réel x strictement positif, pour tout réel y on a :
  • e^{y}=x si et seuleument si y=lnx ;
  • la fonction logarithme népérien est définie et strictement croissante sur l'intervalle ]0;+\infty[ ;
  • ln'(x)=\frac{1}{x} et (ln(u))'=\frac{u'}{u} pour u fonction définie, dérivable et strictement positive ;
  • \lim_{x \to 0^+}lnx=-\infty et \lim_{x\to+\infty}ln x=+\infty ;
  • la limite en plus l'infini de ln(x)/ x est égale à 0 ;
  • e^{lnx}=x et ln(e^{y})=y pour tout x > 0 et pour tout y ;
  • ln(ab) = ln (a) + ln (b) ; ln(\frac{a}{b})=lna-lnb ; ln(a^{n})=nln a pour tout a, b réels strictement positifs et pour tout entier n.
Quelle est la solution de l'équation : ln(3x+1)=4 ?
Cochez la bonne réponse.
Cette équation n'a pas de solution.
\frac{e^{4}-1}{3}
\frac{4-e^{1}}{e^{3}}
On utilise la fonction exponentielle : l'équation ln(3x+1)=4 est équivalente à e^{ln(3x+1)}=e^{4}.
On utilise la relation entre la fonction exponentielle et le logarithme : e^{ln(3x+1)}=e^{4} est équivalente à 3x+1=e^{4}.
On termine la résolution de l'équation : 3x=e^{4}-1 c'est-à-dire x=\frac{e^{4}-1}{3}.
On a : ln3+ln4+ln\frac{1}{12}=0.
Cochez la bonne réponse.
faux
vrai
On sait que ln (a) + ln (b) = ln(ab). Donc ln 3 + ln 4 = ln12.
On sait que ln(\frac{1}{a})=-lna donc ln(\frac{1}{12})=-ln12.
Donc ln3+ln4+ln\frac{1}{12}=ln12-ln12=0.
L'affirmation est vraie.
On considère la fonction f définie par : f(x)=ln(3x+1). Elle est définie, continue et dérivable sur l'ensemble des réels strictement supérieurs à -\frac{1}{3}.
À quoi est égale la dérivée f' de la fonction f ?
Cochez la bonne réponse.
f'(x)=(3x+1)e^{3x+1}
f'(x)=\frac{1}{3x+1}
f'(x)=\frac{3}{3x+1}
La fonction f est du type ln(u) avec, pour tout réel x, u(x)= 3x + 1.
La fonction u est dérivable sur l'ensemble des réels et sa dérivée est définie par u'(x) = 3.
En appliquant la formule f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}, on trouve que f'(x)=\frac{3}{3x+1}.
On considère la fonction f définie par : f(x)=3ln(x). Elle est définie, continue et dérivable sur l'ensemble des réels strictement positifs.
À quoi est égale la dérivée f' de la fonction f ?
Cochez la bonne réponse.
f'(x)=\frac{1}{3x}
f'(x)=3ln(x)
f'(x)=\frac{3}{x}
Pour tout réel x strictement postif, on sait que : (ln(x))'=\frac{1}{x}.
On remarque que : f(x)=3\times ln(x).
Donc f'(x)=3\times \frac{1}{x}=\frac{3}{x}.