Assistance scolaire personnalisée

un partenariat rue des écoles Maif
Vendredi 21 juillet 2017. Bonjour S'inscrire gratuitement Se connecter
icone FicheFiche
ExercicesExercices
Icône de rechercheRechercher

Probabilités conditionnelles

Si je jette un dé non truqué, la probabilité d'obtenir un 6 est de \frac{1}{6}. Si je lance ce même dé, qu'une tierce personne me cache le résultat et me dise « j'ai vu que le résultat est pair », la probabilité de l'événement « avoir un 6 » devient \frac{1}{3}. J'ai tenu compte de l'information donnée. On dit que la probabilité d'obtenir 6, sachant que le nombre obtenu est pair, est \frac{1}{3} ; il s'agit d'une probabilité conditionnelle.
1. Comment calculer une probabilité conditionnelle ?
Soit A et B, deux événements quelconques de probabilités non nulles.
• Si je sais que l'événement A est ou va être réalisé, alors :
– les résultats possibles se réduisent à ceux qui réalisent A ;
– les résultats qui réalisent B se réduisent à ceux qui réalisent à la fois A et B.
• La « probabilité de l'événement B, sachant que l'événement A est réalisé », notée PA(B) ou P(B/A), est alors \frac{\mathrm{nombre\,de\,r\acute{e}alisations\,de}\,A\cap{B}}{\mathrm{nombre\,de\,r\acute{e}alisations\,de}\,A}.
Or : \frac{\mathrm{nombre\,de\,r\acute{e}alisations\,de}\,A\cap{B}}{\mathrm{nombre\,de\,r\acute{e}alisations\,de}\,A} =\frac{\frac{\mathrm{nombre\,de\,r\acute{e}alisations\,de}\,A\cap{B}}{\mathrm{nombre\,total\,de\,r\acute{e}sultats}}}{\frac{\mathrm{nombre\,de\,r\acute{e}alisations\,de}\,A}{\mathrm{nombre\,total\,de\,r\acute{e}sultats}}} ;
\frac{\mathrm{nombre\,de\,r\acute{e}alisations\,de}\,A\cap{B}}{\mathrm{nombre\,de\,r\acute{e}alisations\,de}\,A} =\frac{P(A\cap{B})}{P(A)}.
On calcule donc une probabilité conditionnelle à l'aide de la définition suivante : P_{A}(B)=\frac{P(A\cap{B})}{P(A)}.
• On retrouve, sur les probabilités conditionnelles, les propriétés habituelles d'une probabilité, c'est-à-dire :
P_{A}(\overline{B})=1-P_{A}(B) ;  P_{A}(B\cup{C})=P_{A}(B)+P_{A}(C)-P_{A}(B\cap{C}).
Exercice n°1Exercice n°2Exercice n°3
2. Comment passer de PA(B) à PB(A) ?
• Très souvent, dans la pratique comme dans les problèmes posés, on connaît P A (B) et on veut trouver soit P(A\cap{B}), soit P B (A).
• Pour obtenir ces probabilités, il suffit de repartir de la définition précédente.
Soit A et B, deux événements quelconques de probabilités non nulles.
On a : P_{A}(B)=\frac{P(A\cap{B})}{P(A)} d'où P(A\cap{B})=P(A)P_{A}(B).
Mais on a aussi : P_{B}(A)=\frac{P(B\cap{A})}{P(B)} d'où P(B\cap{A})=P(B)P_{B}(A).
Et comme B\cap{A}=A\cap{B}, on obtient : P(A\cap{B})=P(B)P_{B}(A)=P(A)P_{A}(B).
Ce qui nous donne au final : P_{B}(A)=\frac{P(A)P_{A}(B)}{P(B)}.
Exercice n°4
3. Comment montrer que deux événements sont indépendants ?
• Intuitivement, deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un de ces événements n'influe pas sur la probabilité de l'autre.
On doit donc avoir : PA(B) = P(B).
C'est-à-dire \frac{P(A\cap{B})}{P(A)}=P(B)\Leftrightarrow{P(A\cap{B})}=P(A)P(B).
A et B sont donc indépendants si et seulement si P(A\cap{B})=P(A)P(B).
• Si deux événements A et B sont indépendants, alors :
\overline{A} et B sont indépendants ;
\overline{A} et \overline{B} sont indépendants ;
A et \overline{B} sont indépendants.
• La notion d'indépendance pose souvent problème car on l'utilise dans les deux « sens » :
– dans certains cas, on dira : il est évident que A et B sont indépendants donc P(A\cap{B})=P(A)P(B). Ce cas de figure se présente lorsque A et B sont issus de deux expériences séparées ou de deux répétitions distinctes d'une même expérience, réalisées dans des conditions identiques ;
– dans d'autres cas, on dira : P(A\cap{B})=P(A)P(B), donc A et B sont indépendants. C'est d'ailleurs la réponse que l'on attend quand on pose la question : A et B sont-ils indépendants ?
Remarque
Attention à ne pas confondre :
– A et B incompatibles (c'est-à-dire : P(A\cap{B})=0 ;
– A et B indépendants (c'est-à-dire : P(A\cap{B})=P(A)P(B)).
Exercice n°5Exercice n°6
4. Comment utiliser la formule des probabilités totales ?
• La formule des probabilités totales repose sur l'existence d'une partition.
Les événements B_{1},B_{2},\ldots,B_{n} réalisent une partition de l'univers \Omega si, pour tous nombres i et j compris entre 1 et n :
B_{i}\neq{\oslash} ;
B_{i}\cap{B_{j}}=\oslash, pour i\neq{j} ;
B_{1}\cup{B_{2}}\cup{\cdots}\cup{B_{n}}=\Omega.
Cas particulier important : si B est un événement avec P(B)\neq{0} et P(B)\neq{1}, alors B, \overline{B} forment une partition.
• Ayant une partition B1, B2, …, B n de l'univers Ω, on considère un événement A quelconque. On peut écrire que les événements élémentaires qui réalisent A sont les événements élémentaires de B1 qui réalisent A « union » les événements élémentaires de B 2 qui réalisent A « union » … « union » les événements élémentaires de B n qui réalisent A.
C'est-à-dire que : A=(A\cap{B_{1}})\cup(A\cap{B_{2}})\cup{\cdots}\cup(A\cap{B_{n}}).
• D'où la première expression de la formule des probabilités totales :
P(A)=P(A\cap{B_{1}})+P(A\cap{B_{2}})+{\cdots}+P(A\cap{B_{n}}).
Et comme P(A\cap{B_{i}})=P(B_{i})P_{B_{i}}(A), on obtient la seconde expression de la formule des probabilités totales :
P(A)=P(B_{1})P_{B_{1}}(A)+P(B_{2})P_{B_{2}}(A)+{\cdots}\,P(B_{n})P_{B_{n}}(A).
Exercice n°7Exercice n°8
À retenir
• Soit A et B deux événements de probabilités non nulles. La probabilité de l'événement A, sachant que l'événement B est réalisé, est appelée probabilité conditionnelle. Elle est définie par : P_{B}(A)=\frac{P(B\cap{A})}{P(B)}.
• Les événements A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l'un de ces événements n'influe pas sur la probabilité de l'autre. A et B sont donc indépendants si et seulement si : P(A\cap{B})=P(A)P(B).
• À partir d'une partition, on peut utiliser la formule des probabilités totales.
© rue des écoles. Tous droits réservés.
Partager
Share
Partager sur Tweeter