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Notion de continuité sur un intervalle

L'objectif principal est de découvrir la notion de continuité et de l'utiliser pour notamment résoudre des équations.
La notion de continuité permet d'énoncer correctement le théorème des valeurs intermédiaires. Ce dernier sert à déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f(x) = k, où k \in\mathbb{R} et où f est une fonction continue, et à en donner une valeur approchée ou un encadrement ; ceci est surtout intéressant lorsque l'on ne sait pas résoudre algébriquement une telle équation.
1. Qu'est ce qu'une fonction continue ?
Approche graphique : soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que la fonction f est continue sur I lorsque sa courbe représentative se trace « sans lever le crayon ».
Exemples de fonctions continues :
Propriétés :
  • les fonctions de référence (affines, carré, cube, inverse, racine carrée) sont continues sur leur ensemble de définition ;
  • les fonctions construites à partir des fonctions de référence sont continues sur leurs ensembles de définition ;
  • les fonctions polynômes sont continues sur l'ensemble des réels.
  • les fonctions rationnelles sont continues sur leur ensemble de définition.
Exemples :
  • la fonction f définie pour tout réel x par f(x) = 2 x3 + 5 x2x + 1 est continue sur l'ensemble des réels comme fonction polynôme ;
  • la fonction f définie pour tout réel x différent de 3 par f(x)=\frac{2x-1}{x-3} est continue sur l'ensemble des réels privé de 3 comme fonction rationnelle.
Exercice n°1Exercice n°2
2. La propriété des valeurs intermédiaires
Propriété fondamentale des fonctions continues
On considère un intervalle I et deux nombres réels a et b appartenant à I.
Soit f une fonction continue sur I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.
Interprétation graphique : la droite d'équation y = k coupe au moins une fois la courbe représentative de la fonction f en un point dont l'abscisse est comprise entre a et b.
Exercice n°3
Interprétation en terme d'équation : l'équation f(x) = k admet au moins une solution comprise entre a et b.
Cas particulier : fonction continue et strictement monotone sur un intervalle
On considère un intervalle I et deux nombres réels a et b appartenant à I.
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une solution unique comprise entre a et b.
À retenir
  • On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle lorsque sa courbe représentative se trace « sans lever le crayon ».
  • Les fonctions de référence (affines, carré, cube, inverse, racine carrée) sont continues sur leur ensemble de définition.
  • Soit f une fonction continue sur l'intervalle [a;b] alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.
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