Notion de continuité sur un intervalle

L'objectif principal est de découvrir la notion de continuité et de l'utiliser pour notamment résoudre des équations.
La notion de continuité permet d'énoncer correctement le théorème des valeurs intermédiaires. Ce dernier sert à déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f(x) = k, où k \in\mathbb{R} et où f est une fonction continue, et à en donner une valeur approchée ou un encadrement ; ceci est surtout intéressant lorsque l'on ne sait pas résoudre algébriquement une telle équation.
1. Qu'est ce qu'une fonction continue ?
Approche graphique : soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que la fonction f est continue sur I lorsque sa courbe représentative se trace « sans lever le crayon ».
Exemples de fonctions continues :
Notion de continuité sur un intervalle - illustration 1
Propriétés :
  • les fonctions de référence (affines, carré, cube, inverse, racine carrée) sont continues sur leur ensemble de définition ;
  • les fonctions construites à partir des fonctions de référence sont continues sur leurs ensembles de définition ;
  • les fonctions polynômes sont continues sur l'ensemble des réels.
  • les fonctions rationnelles sont continues sur leur ensemble de définition.
Exemples :
  • la fonction f définie pour tout réel x par f(x) = 2 x3 + 5 x2x + 1 est continue sur l'ensemble des réels comme fonction polynôme ;
  • la fonction f définie pour tout réel x différent de 3 par f(x)=\frac{2x-1}{x-3} est continue sur l'ensemble des réels privé de 3 comme fonction rationnelle.
Exercice n°1Exercice n°2
2. La propriété des valeurs intermédiaires
Propriété fondamentale des fonctions continues
On considère un intervalle I et deux nombres réels a et b appartenant à I.
Soit f une fonction continue sur I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.
Interprétation graphique : la droite d'équation y = k coupe au moins une fois la courbe représentative de la fonction f en un point dont l'abscisse est comprise entre a et b.
Notion de continuité sur un intervalle - illustration 2
Exercice n°3
Interprétation en terme d'équation : l'équation f(x) = k admet au moins une solution comprise entre a et b.
Notion de continuité sur un intervalle - illustration 3
Cas particulier : fonction continue et strictement monotone sur un intervalle
On considère un intervalle I et deux nombres réels a et b appartenant à I.
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une solution unique comprise entre a et b.
Notion de continuité sur un intervalle - illustration 4
À retenir
  • On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle lorsque sa courbe représentative se trace « sans lever le crayon ».
  • Les fonctions de référence (affines, carré, cube, inverse, racine carrée) sont continues sur leur ensemble de définition.
  • Soit f une fonction continue sur l'intervalle [a;b] alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.
On considère la courbe représentative d'une fonction f définie sur l'intervalle I = [-2;4[.
Notion de continuité sur un intervalle - illustration 5
D'après sa courbe représentative, que peut-on dire ?
Cochez la bonne réponse.
La fonction f est continue sur I.
La fonction f n'est pas continue sur I.
Graphiquement, on remarque que la courbe représentative de la fonction f ne peut pas se réaliser sans lever le crayon, donc la fonction f n'est pas continue sur l'intervalle I.
Soit f la fonction définie pour tout réel x par : f(x) = x × (2 x +1).
Que peut-on dire sur la continuité de la fonction f ?
Cochez la bonne réponse.
On ne sait pas si la fonction f est continue.
La fonction f est continue sur l'ensemble des réels.
La fonction f n'est pas continue sur l'ensemble des réels
La fonction qui a x associe x est une fonction continue sur l'ensemble des réels comme fonction affine particulière.
La fonction qui a x associe 2 x +1 est une fonction continue sur l'ensemble des réels comme fonction affine.
La fonction f est donc continue sur l'ensemble des réels comme produit de deux fonctions continues sur le même ensemble.
On considère le tableau de variations d'une fonction continue f.
Notion de continuité sur un intervalle - illustration 6
Combien de solution admet l'équation f(x) = 0,5 ?
Cochez la bonne réponse.
2
1
0
D'après le tableau de variations, on sait que la fonction f admet un maximum lorsque x est égal à 1, ce maximum est égal à 1.
La droite d'équation y = 0,5 est située au dessous du point de coordonnées (1;1), elle a donc deux points d'intersection avec la courbe représentative de la fonction f.
Il y a donc deux solutions à l'équation f(x) = 0,5 ; une solution dans l'intervalle ]0,1[et une autre dans l'intervalle ]1;+\infty[.
On considère le tableau de variations d'une fonction continue f.
Notion de continuité sur un intervalle - illustration 7
Combien de solution admet l'équation f(x) = 2 ?
Cochez la bonne réponse.
2
0
1
D'après le tableau de variations, on sait que la fonction f admet un maximum lorsque x est égal à 1, ce maximum est égal à 1.
La droite d'équation y = 2 est située au dessus du point de coordonnées (1;1), elle n'a donc pas de point d'intersection avec la courbe représentative de la fonction f.
On considère le tableau de variations d'une fonction g continue sur l'ensemble des réels.
Notion de continuité sur un intervalle - illustration 8
Combien de solution admet l'équation g(x) = 0 sur l'intervalle
]-\infty;-2[ ?
Cochez la bonne réponse.
au plus une solution
au moins une solution
une solution unique
D'après le tableau de variations, on sait que la fonction g est continue, de plus elle est strictement croissante sur l'intervalle ]-\infty;-2[.
On a \displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty et g(−2)= 6 or 0 appartient à l'intervalle ]-\infty;6[ , donc l'équation g(x) = 0 admet une unique solution sur l'intervalle ]-\infty;-2[.
On considère le tableau de variations d'une fonction f continue et définie sur l'intervalle ]-3;6[.
Notion de continuité sur un intervalle - illustration 9
Combien de solution admet l'équation f(x) = 3 ?
Cochez la bonne réponse.
0
1
au moins une solution
D'après le tableau de variations de la fonction f, toutes les valeurs prises par la fonction sont comprises entre −1 et 2.
3 n'est pas compris entre −1 et 2, donc l'équation f(x) = 3 n'admet pas de solution.