Au xvie siècle, les mathématiciens italiens Cardan et Bombelli introduisirent des nombres « imaginaires » ayant un carré négatif, pour résoudre des équations du troisième degré.
Deux siècles plus tard, Euler et d'Alembert parachevèrent la création des nombres complexes et fixèrent les notations actuelles, en particulier celle du nombre i.
Aujourd'hui, les nombres complexes sont utilisés non seulement dans toutes les branches des mathématiques, en particulier en trigonométrie et en géométrie, mais aussi dans d'autres sciences comme la physique.
1. Quelles sont les différentes formes sous lesquelles peut se présenter un nombre complexe non nul ?
Un nombre complexe z, non nul, admet trois types d'écriture :
– une écriture algébrique : z = x + i y, où x et y sont deux nombres réels ;  x est la partie réelle de z et y, sa partie imaginaire ;
– une écriture trigonométrique : z=r(\cos\theta+\mathrm{i}\,\sin{\theta}), où r désigne le module de z et θ un argument de z,
– une écriture exponentielle : z=r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta}.
Selon le cas, on privilégie l'une ou l'autre écriture.
Exercice n°1
2. Comment calculer le module et un argument d'un nombre complexe z non nul ?
Si le nombre complexe z est donné sous sa forme algébrique z = x + i y, on commence par calculer le module r à l'aide de la formule : r=| z| =\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Puis on détermine un argument θ de z en calculant : \cos{\theta}=\frac{x}{| z| } et \sin{\theta}=\frac{y}{| z| }.
Soient deux nombres complexes z et z'.
Dans le cas où Z =zz' , le module de Z est égal au produit des modules de z et de z' et l'argument de Z est égal à la somme des arguments de z et de z', modulo 2π.
Cela signifie que : \mathrm{arg}\,Z=\mathrm{arg}\,z+\mathrm{arg}\,z{^\prime}+2k{\pi}, où k\in{\mathbb{Z}}.
On peut aussi écrire plus simplement : \mathrm{arg}\,Z=\mathrm{arg}\,z+\mathrm{arg}\,{z^\prime}\,(2\pi) ou [2\pi].
Dans le cas où \mathbf{Z}=\frac{z}{z^\prime}, le module de Z s'obtient en divisant le module de z par le module de z' et l'argument de Z est égal à la différence des arguments de z et de z', modulo 2π.
Exercice n°2
3. Comment résoudre une équation dans l'ensemble des nombres complexes ?
On rencontre essentiellement trois types d'équations dans l'ensemble \mathbb{C}.
Dans le cas d'une équation du premier degré de la forme az + b = c, avec a non nul, les méthodes de résolution sont les mêmes que dans Ensemble R.
Dans le cas d'une équation du second degré à coefficients réels de la forme az2 + bz + c = 0, où a est un réel non nul, on calcule le discriminant de l'équation : \Delta=b^{2}-4ac.
Si \Delta=0, alors l'équation admet une racine double réelle : x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a}.
Si \Delta\,>\,{0}, alors l'équation admet deux racines réelles : x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} et x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}.
Si \Delta\,<\,{0}, alors l'équation admet deux racines complexes conjuguées : z_{1}=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a} et z_{2}=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}.
Dans le cas d'une équation faisant intervenir \bar{z}, le conjugué de z, ou son module |z|, on pose z=x+\mathrm{i}\,y puis on fait appel au théorème : deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
Exercice n°3
4. Quel lien y a-t-il entre la géométrie plane et les nombres complexes ?
Les nombres complexes constituent un outil privilégié pour résoudre de manière simple de nombreux problèmes de géométrie.
Le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct, l'image du nombre complexe z = a + i b est le point M de coordonnées (a ; b). On dit alors que z est l'affixe du point M.
L'affixe du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} est le nombre complexe z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}.
L'affixe du milieu du segment [AB] est la demi-somme des affixes des points A et B.
Il est impératif de connaître aussi :
– le lien entre les distances et les modules : \mathrm{AB}=| z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}|  ;
– le lien entre les angles et les arguments :
(\overrightarrow{\mathrm{u}},\,\overrightarrow{\mathrm{AB}})=\mathrm{arg}\left({z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}}\right)\,(2\pi) ;
Exercice n°4
À retenir
Un nombre complexe z, non nul, admet trois types d'écriture :
– une écriture algébrique : z = a + i b, où a et b sont deux nombres réels ;  a est la partie réelle de z et b, sa partie imaginaire ;
– une écriture trigonométrique : z=r(\cos{\theta}+\mathrm{i}\,\sin{\theta}), où r désigne le module de z et \theta un argument de  z,
– une écriture exponentielle : z=r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta}.
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
Pour multiplier des nombres complexes non nuls, on multiplie leurs modules et on ajoute leurs arguments.
Le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct, l'image du nombre z = a + i b est le point M de coordonnées (a ; b). On dit alors que z est l'affixe du point M.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
Cochez la bonne réponse.
\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\mathrm{i}.
(1+\mathrm{i})(4+\mathrm{i}) a pour partie imaginaire 5i.
Si \theta \neq 2k\pi, alors Z=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+1}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-1} est un imaginaire pur.
On transforme l'écriture du quotient en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur soit 1+\mathrm{i}.
Attention, la partie imaginaire de (1+\mathrm{i})(4+\mathrm{i}) est 5 et non 5i.
On considère le nombre complexe Z=\frac{\sqrt{2}}{1+\mathrm{i}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{3}}.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
Cochez la bonne réponse.
Le réel -\frac{\pi}{12} est un argument de Z.
Z=\mathrm{e}^{-i\frac{11 \pi}{12}}.
Le module de Z est 1.
D'après les propriétés des modules, | Z| =\frac{| \sqrt{2}| }{| 1+\mathrm{i}| }| \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{3}}| .
Or | 1+\mathrm{i}| =\sqrt{2}\,\mathrm{et}\,| \mathrm{e}^{\frac{i\pi}{3}}| =1. Le module de Z est donc bien 1.
Les autres propositions sont fausses.
On peut vérifier ainsi qu'un argument de Z est \frac{\pi}{12} :
\mathrm{arg}\,Z=\mathrm{arg}\,\left(\frac{\sqrt{2}}{1+\mathrm{i}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{3}}\right)\,\left(2\pi\right)
\mathrm{arg}\,Z=\mathrm{arg}\,\sqrt{2}-\mathrm{arg}(1+\mathrm{i})+\mathrm{arg}\,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{3}}\,\left(2\pi\right)
\mathrm{arg}\,Z=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}\,\left(2\pi\right)
soit \mathrm{arg}\,Z=\frac{\pi}{12}\,\left(2\pi\right)
On considère l'équation (E) d'inconnue complexe z :
z^{2}-2\bar{z}+1=0.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
Cochez la bonne réponse.
L'équation (E) a trois solutions.
L'équation (E) a un nombre pair de solutions qui sont deux à deux conjuguées.
L'équation (E) n'a que des solutions dont la partie réelle vaut 1.
Pour résoudre ce type d'équations, on pose z=x+\mathrm{i}y et on remplace dans (E).
On obtient alors : (x+\mathrm{i}y)^{2}-2(x-\mathrm{i}y)+1=0
soit (x^2-y^2-2x+1)+\mathrm{i}(2xy+2y)=0.
Or un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles simultanément.
D'où : (E)\,\Leftrightarrow\,\begin{cases}(x-1)^{2}-y^2=0 \tabularnewline 2y(x+1)=0 \end{cases}.
On en déduit que l'équation (E) admet trois solutions :
1 ; -1+2\mathrm{i}\,\mathrm{et}\,-1-2\mathrm{i}.
Deux des solutions de l'équation (E) ont une partie réelle qui vaut −1.
Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct, on considère les points M et N d'affixes respectives a et b tels que a et b soient solutions de l'équation :
z2 − 2z + 3 = 0.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
Cochez la bonne réponse.
\overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{ON}}=ab.
Les points M et N appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2.
Le milieu du segment [MN] appartient à l'axe des abscisses.
L'affixe du milieu de [MN] est 1, donc ce point appartient bien à l'axe des abscisses.
Les autres propositions sont fausses.
Les points M et N ont pour affixes respectives 1+i\sqrt{2}\,\mathrm{et}\,1-i\sqrt{2}.
On a donc \mathrm{OM}=\mathrm{ON}=\sqrt{3} ;  les points M et N appartiennent au cercle de centre O et de rayon \sqrt{3}.
Par ailleurs, \overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{ON}}=-1\,\mathrm{et}\,ab=3.