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Fonction exponentielle

C'est en recherchant des fonctions dérivables sur \mathbb{R} dont la dérivée est proportionnelle à la fonction que l'on est conduit à l'étude de la fonction exponentielle. Celle-ci joue un rôle capital en mathématiques, car c'est une fonction de référence : elle intervient dans de nombreuses lois de probabilité.
1. Comment définir la fonction exponentielle ?
Définition
La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur l'ensemble des réels vérifiant les deux conditions suivantes :
  • pour tout réel x, exp'(x) = exp(x) et exp(0) = 1. Conséquences : e0 = 1 ; e^{1}=e\approx {2,718} ; e^{-1}=\frac{1}{e} et e^{0,5}=\sqrt{e} ;
  • pour tout réel x on a : e^{x}\times e^{-x}=1.
Dérivée, courbe représentative
La fonction exponentielle est égale à sa dérivée.
La fonction exponentielle est positive, donc sa fonction dérivée aussi, et elle est strictement croissante sur Ensemble R
Courbe représentative de la fonction exponentielle
Dérivée de la fonction eu
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, alors pour tout réel x appartenant à I on a : (eu)'(x) = u'(x)×eu(x).
Exercice n°1Exercice n°2
2. Quelles sont les propriétés à retenir ?
Propriétés :
  • relation fonctionnelle : quelque soient les réels x et y on a : ex × ey = ex+y ;
  • quelque soient les réels x et y on a \frac{e^{x}}{e^{y}}=e^{x-y} ;
  • pour tout nombre réel x on a :\frac{1}{e^{x}}=e^{-x} ;
  • pour tout nombre réel x on a : e^{\frac{x}{2}}=\sqrt{e^{x}} ;
  • pour tout nombre réel x et pour tout entier n on a : (e^{x})^{n}=e^{nx} ;
  • ea = eb si et seulement si a = b ;
  • \displaystyle \lim_{x\to+\infty}e^{x}=+\infty et \displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^{x}=0.
Exercice n°3
À retenir
  • La fonction exponentielle est l'unique fonction f dérivable sur l'ensemble des réels qui est sa propre dérivée et qui vérifie f(0) = 1.
  • Pour tout réel x on a : e^{x}\times e^{-x}=1.
  • Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, alors pour tout réel x appartenant à I on a : (eu)'(x) = u'(x)×eu(x).
  • \displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^{x}=0 et \displaystyle \lim_{x\to+\infty}e^{x}=+\infty.
  • Exp(x) > 0 pour tout réel x.
  • La limite en plus l'infini de e^{x}x est égale à +\infty, et celle en moins l'infini de xe^{x} est 0.
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