Fonctions exponentielles

C'est en recherchant des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ dont la dérivée est proportionnelle à la fonction que l'on est conduit à l'étude de la fonction exponentielle. Celle-ci joue un rôle capital en mathématiques, car c'est une fonction de référence : elle intervient dans de nombreuses lois de probabilité.

1. Comment définir la fonction exponentielle ?

Définition

La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur l'ensemble des réels vérifiant les deux conditions suivantes :

pour tout réel x, exp'(x) = exp(x) et exp(0) = 1. Conséquences : e⁰ = 1 ; $e^{1}=e\approx {2,718}$ ; $e^{-1}=\frac{1}{e}$ et $e^{0,5}=\sqrt{e}$ ;
pour tout réel x on a : $e^{x}\times e^{-x}=1$ .

Dérivée, courbe représentative

La fonction exponentielle est égale à sa dérivée.
La fonction exponentielle est positive, donc sa fonction dérivée aussi, et elle est strictement croissante sur Ensemble R

Courbe représentative de la fonction exponentielle

Dérivée de la fonction e^u

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, alors pour tout réel x appartenant à I on a : (e^u)'(x) = u'(x)×e^u(x).
Exercice n°2 Exercice n°3

2. Quelles sont les propriétés à retenir ?

Propriétés :

relation fonctionnelle : quelque soient les réels x et y on a : e^x × e^y = e^x+y ;
quelque soient les réels x et y on a $\frac{e^{x}}{e^{y}}=e^{x-y}$ ;
pour tout nombre réel x on a : $\frac{1}{e^{x}}=e^{-x}$ ;
pour tout nombre réel x on a : $e^{\frac{x}{2}}=\sqrt{e^{x}}$ ;
pour tout nombre réel x et pour tout entier n on a : $(e^{x})^{n}=e^{nx}$ ;
e^a = e^b si et seulement si a = b ;
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}e^{x}=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^{x}=0$ .

Exercice n°4

À retenir

La fonction exponentielle est l'unique fonction f dérivable sur l'ensemble des réels qui est sa propre dérivée et qui vérifie f(0) = 1.
Pour tout réel x on a : $e^{x}\times e^{-x}=1$ .
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, alors pour tout réel x appartenant à I on a : (e^u)'(x) = u'(x)×e^u(x).
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^{x}=0$ et $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}e^{x}=+\infty$ .
Exp(x) > 0 pour tout réel x.
La limite en plus l'infini de $e^{x}$ / x est égale à $+\infty$ , et celle en moins l'infini de x $e^{x}$ est 0.

On considère la fonction f définie par $f(x)=e^{3x+1}$ , continue et dérivable sur l'ensemble des réels.
À quoi est égale la dérivée f' de la fonction f ?

Cochez la bonne réponse.

$f'(x)=(3x+1)e^{3x+1}$

$f'(x)=e^{3x+1}$

ok	$f'(x)=3e^{3x+1}$

La fonction f est du type e^u avec, pour tout réel x, u(x)= 3x + 1.
La fonction u est dérivable sur l'ensemble des réels et sa dérivée est définie par u'(x) = 3.
En appliquant la formule $f'(x)=u'(x)\times e^{u(x)}$ , on trouve que $f'(x)=3e^{3x+1}$ .

On considère la fonction f définie par $f(x)=e^{3x^{2}-2x+8}$ , continue et dérivable sur l'ensemble des réels.
À quoi est égale la dérivée f' de la fonction f ?

Cochez la bonne réponse.

$f'(x)=(3x^{2}-2x+8)e^{3x^{2}-2x+8}$

$f'(x)=e^{3x^{2}-2x+8}$

ok	$f'(x)=(6x-2)e^{3x^{2}-2x+8}$

La fonction f est du type e^u avec pour tout réel x, $u(x)=3x^{2}-2x+8$ .
La fonction u est dérivable sur l'ensemble des réels et sa dérivée est définie par
u'(x)=6x-2

.
En appliquant la formule $f'(x)=u'(x)\times e^{u(x)}$ , on trouve que
$f'(x)=(6x-2)e^{3x^{2}-2x+8}$ .

Pour tout réel x on a : $1-\frac{1}{e^{x}+1}=\frac{1}{e^{-x}+1}$ .

Cochez la bonne réponse.

vrai

faux

Pour tout réel x on a : $1-\frac{1}{e^{x}+1}=\frac{e^{x}+1}{e^{x}+1}-\frac{1}{e^{x}+1}=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}$ .
Donc $1-\frac{1}{e^{x}+1}=\frac{e^{x}(1)}{e^{x}(1+e^{-x})}=\frac{1}{e^{-x}+1}$ .

Fonctions exponentielles

1. Comment définir la fonction exponentielle ?

Définition

Dérivée, courbe représentative

Courbe représentative de la fonction exponentielle

Dérivée de la fonction eu

2. Quelles sont les propriétés à retenir ?

À retenir

Dérivée de la fonction e^u