C'est en recherchant des fonctions dérivables sur
dont la dérivée est proportionnelle à la fonction que l'on est conduit à l'étude de la fonction exponentielle. Celle-ci joue un rôle capital en mathématiques, car c'est une fonction de référence : elle intervient dans de nombreuses lois de probabilité.

1. Comment définir la fonction exponentielle ?
Définition
La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur l'ensemble des réels vérifiant les deux conditions suivantes :- pour tout réel x, exp'(x) = exp(x) et exp(0) = 1. Conséquences : e0 = 1 ;
;
et
;
- pour tout réel x on a :
.
Dérivée, courbe représentative
La fonction exponentielle est égale à sa dérivée.La fonction exponentielle est positive, donc sa fonction dérivée aussi, et elle est strictement croissante sur

Courbe représentative de la fonction exponentielle
![]() |
Dérivée de la fonction eu
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, alors pour tout réel x appartenant à I on a : (eu)'(x) = u'(x)×eu(x).Exercice n°2Exercice n°3
2. Quelles sont les propriétés à retenir ?
Propriétés :- relation fonctionnelle : quelque soient les réels x et y on a : ex × ey = ex+y ;
- quelque soient les réels x et y on a
;
- pour tout nombre réel x on a :
;
- pour tout nombre réel x on a :
;
- pour tout nombre réel x et pour tout entier n on a :
;
- ea = eb si et seulement si a = b ;
et
.
À retenir
- La fonction exponentielle est l'unique fonction f dérivable sur l'ensemble des réels qui est sa propre dérivée et qui vérifie f(0) = 1.
- Pour tout réel x on a :
.
- Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, alors pour tout réel x appartenant à I on a : (eu)'(x) = u'(x)×eu(x).
et
.
- Exp(x) > 0 pour tout réel x.
- La limite en plus l'infini de
/ x est égale à
, et celle en moins l'infini de x
est 0.
On considère la fonction f définie par
, continue et dérivable sur l'ensemble des réels.
À quoi est égale la dérivée f' de la fonction f ?

À quoi est égale la dérivée f' de la fonction f ?
Cochez la bonne réponse.
| ||
| ||
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La fonction f est du type eu avec, pour tout réel x, u(x)= 3x + 1.
La fonction u est dérivable sur l'ensemble des réels et sa dérivée est définie par u'(x) = 3.
En appliquant la formule
, on trouve que
.
La fonction u est dérivable sur l'ensemble des réels et sa dérivée est définie par u'(x) = 3.
En appliquant la formule


On considère la fonction f définie par
, continue et dérivable sur l'ensemble des réels.
À quoi est égale la dérivée f' de la fonction f ?

À quoi est égale la dérivée f' de la fonction f ?
Cochez la bonne réponse.
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La fonction f est du type eu avec pour tout réel x,
.
La fonction u est dérivable sur l'ensemble des réels et sa dérivée est définie par
.
En appliquant la formule
, on trouve que
.

La fonction u est dérivable sur l'ensemble des réels et sa dérivée est définie par

En appliquant la formule


Pour tout réel x on a :
.

Cochez la bonne réponse.
| ||
|
Pour tout réel x on a :
.
Donc
.

Donc
