Les probabilités conditionnelles prennent en compte les informations concernant l'issue d'une expérience qui modifient la probabilité des événements liés à cette expérience. On parle de probabilités conditionnelles lorsque deux événements d'une expérience aléatoire se réalisent l'un après l'autre, on regarde alors l'influence du premier sur le second.
1. Comment calculer une probabilité conditionnelle ?
Lecture d'un arbre
On considère une expérience aléatoire et deux événements A et B quelconques de probabilités non nulles. L'événement A est réalisé puis l'événement B.
On peut visualiser la situation en utilisant un arbre pondéré :
Probabilités conditionnelles - illustration 1
La probabilité de l'événement « B sachant que l'événement A est réalisé », notée PA (B) peut se calculer en utilisant un arbre.
En effet on a : P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B) donc P_{A}(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
Par analogie on en déduit que la probabilité de l'événement « A sachant que l'événement B est réalisé », notée PB (A) sera égale à : \frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Exercice n°1Exercice n°2
Propriétés
P_{A}(B)+P_{A}(\overline{B})=1.
P_{B}(A)=\frac{P(A)\times P_{A}(B)}{P(B)}.
Exercice n°3
2. Comment montrer que deux événements sont indépendants ?
Propriété
Intuitivement, deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un de ces événements n'influe pas sur la probabilité de l'autre. On doit donc avoir : PA(B) = P(B).
A et B sont donc indépendants si et seulement si {P(A\cap B)}=P(A)\times P(B).
Remarque
Attention à ne pas confondre incompatibles et indépendants :
  • A et B sont donc incompatibles si et seulement si {P(A\cap B)}=0 ;
  • A et B sont donc indépendants si et seulement si {P(A\cap B)}=P(A)\times P(B).
Exercice n°4
3. Comment utiliser la formule des probabilités totales ?
Cas d'une partition élémentaire avec A et \overline{A}.
Pour tout événement B on a : P(B)=P(A\cap B)+P(\overline A\cap B).
Exercice n°5Exercice n°6
À retenir
  • La probabilité de l'événement « B sachant que l'événement A est réalisé » (avec P(A)\neq0) est P_{A}(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
  • A et B sont indépendants si et seulement si {P(A\cap B)}=P(A)\times P(B).
  • P(B)=P(A\cap B)+P(\overline A\cap B).
On considère l'arbre pondéré suivant :
Probabilités conditionnelles - illustration 2
À quoi est égale PC (F) ?
Cochez la bonne réponse.
0,024
0,12
0,2
On cherche la probabilité que l'événement F se réalise sachant que l'événement C s'est déjà réalisé.
Par lecture de l'arbre on trouve que PC (F) = 0,2.
On considère l'arbre pondéré suivant :
Probabilités conditionnelles - illustration 3
À quoi est égale P_{\overline C}({\overline F}) ?
Cochez la bonne réponse.
0,88
0,8096
0,92
On cherche la probabilité que l'événement \overline {F} se réalise sachant que l'événement \overline {C} s'est déjà réalisé.
Par lecture graphique on trouve 0,92.
Dans une population lycéenne, 40 % des élèves aiment les mathématiques, 30 % aiment la physique et 10 % aiment à la fois les mathématiques et la physique.
On prend un élève au hasard, la probabilité pour qu'il n'aime pas les mathématiques sachant qu'il aime la physique est égale à :
Cochez la bonne réponse.
0,15.
\frac{2}{3}.
\frac{1}{3}.
Soit A l'événement « l'élève aime les mathématiques » et B l'événement « l'élève aime la physique ».
On a P(A) = 0,4 ; P(B) = 0,3 et P(A\cap B)=0,1.
On cherche P_{B}(\overline A).
On sait que P_{B}(\overline A)=1-P_{B}(A).
Or P_{B}(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0,1}{0,3}=\frac{1}{3}.
Donc P_{B}(\overline A)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
On considère deux événements indépendants A et B tels que P(A) = 0,8 et P(A\cap B)=0,2.
À quoi est égale : P(A\cup B) ?
Cochez la bonne réponse.
0,6
0,85
0,25
On sait que P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
On sait que A et B sont indépendants donc : P(A\cap B)=P(A)\times P(B).
On en déduit que 0,2=0,8\times P(B).
D'où P(B)=\frac{0,2}{0,8}=0,25.
Donc P(A\cup B)=0,8+0,25-0,2=0,85.
On considère une urne contenant 8 jetons rouges, 3 jetons verts et 1 jeton jaune.
On procède à 3 tirages avec remise d'un jeton dans cette urne.
Quelle est la probabilité d'obtenir un jeton rouge, puis un jeton vert et un jeton jaune ?
Cochez la bonne réponse.
\frac{12}{36}=\frac{1}{3}
\frac{1}{27}
\frac{1}{72}
Au total l'urne contient 12 jetons.
La probabilité d'obtenir un jeton rouge est égale à \frac{8}{12}=\frac{2}{3}.
La probabilité d'obtenir un jeton vert est égale à \frac{3}{12}=\frac{1}{4}.
La probabilité d'obtenir un jeton jaune est égale à \frac{1}{12}.
Puisqu'à chaque tirage on remet le jeton tiré, les événements sont indépendants donc : P(R\cap V\cap J)=P(R)\times P(V)\times P(J)=\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{12}=\frac{2\times 1\times 1}{3\times 4\times 12}=\frac{2}{144}=\frac{1}{72}.
On considère une urne contenant 8 jetons rouges, 3 jetons verts et 1 jeton jaune.
On procède à 3 tirages avec remise d'un jeton dans cette urne.
La probabilité d'obtenir un jeton rouge, puis un jeton vert et un jeton jaune est égale à la probabilité d'obtenir un jeton jaune, puis un jeton rouge et un jeton vert.
Cochez la bonne réponse.
vrai
faux
Puisqu'à chaque tirage on remet le jeton tiré, les événements sont indépendants donc : P(R\cap V\cap J)=P(R)\times P(V)\times P(J).
La multiplication est commutative (l'ordre n'a pas d'importance) donc :
P(R)\times P(V)\times P(J)= P(J)\times P(R)\times P(V)=P(J\cap R\cap V).
L'ordre n'a donc pas d'importance, l'affirmation est vraie.