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Probabilités conditionnelles

Les probabilités conditionnelles prennent en compte les informations concernant l'issue d'une expérience qui modifient la probabilité des événements liés à cette expérience. On parle de probabilités conditionnelles lorsque deux événements d'une expérience aléatoire se réalisent l'un après l'autre, on regarde alors l'influence du premier sur le second.
1. Comment calculer une probabilité conditionnelle ?
Lecture d'un arbre
On considère une expérience aléatoire et deux événements A et B quelconques de probabilités non nulles. L'événement A est réalisé puis l'événement B.
On peut visualiser la situation en utilisant un arbre pondéré :
La probabilité de l'événement « B sachant que l'événement A est réalisé », notée PA (B) peut se calculer en utilisant un arbre.
En effet on a : P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B) donc P_{A}(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
Par analogie on en déduit que la probabilité de l'événement « A sachant que l'événement B est réalisé », notée PB (A) sera égale à : \frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Exercice n°1Exercice n°2
Propriétés
P_{A}(B)+P_{A}(\overline{B})=1.
P_{B}(A)=\frac{P(A)\times P_{A}(B)}{P(B)}.
Exercice n°3
2. Comment montrer que deux événements sont indépendants ?
Propriété
Intuitivement, deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un de ces événements n'influe pas sur la probabilité de l'autre. On doit donc avoir : PA(B) = P(B).
A et B sont donc indépendants si et seulement si {P(A\cap B)}=P(A)\times P(B).
Remarque
Attention à ne pas confondre incompatibles et indépendants :
  • A et B sont donc incompatibles si et seulement si {P(A\cap B)}=0 ;
  • A et B sont donc indépendants si et seulement si {P(A\cap B)}=P(A)\times P(B).
Exercice n°4
3. Comment utiliser la formule des probabilités totales ?
Cas d'une partition élémentaire avec A et \overline{A}.
Pour tout événement B on a : P(B)=P(A\cap B)+P(\overline A\cap B).
Exercice n°5Exercice n°6
À retenir
  • La probabilité de l'événement « B sachant que l'événement A est réalisé » (avec P(A)\neq0) est P_{A}(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
  • A et B sont indépendants si et seulement si {P(A\cap B)}=P(A)\times P(B).
  • P(B)=P(A\cap B)+P(\overline A\cap B).
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