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1. Analyse

Deux objectifs majeurs fédèrent les éléments de ce chapitre :
  • l'extension du champ des suites et des fonctions vues en classe de première à quelques nouvelles fonctions classiques : exponentielles, logarithmes, trigonométriques (telle la fonction tangente) ou faisant intervenir des radicaux ;
  • l'initiation au calcul intégral et à la problématique des équations différentielles : la présence de ces dernières, bien que modeste dans le libellé du programme, est fondamentale pour amener à la compréhension de la puissance des mathématiques pour la modélisation ; un travail conjoint avec les autres disciplines favorisera cet objectif.
1. 1. Limites de suites et de fonctions
a) Rappel de la définition de la limite d'une suite. Extension à la limite finie ou infinie d'une fonction en +\infty ou -\infty
Pour exprimer que f(x) tend vers L quand x tend vers +\infty, on dira que : « tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand ».
b) Notion de limite finie ou infinie d'une fonction en un réel a
On montrera qu'une suite croissante non majorée tend vers l'infini. On reverra à cette occasion la notion d'asymptote oblique, en se limitant aux fonctions se mettant sous la forme ax + b + h(x), où h tend vers 0 à l'infini. On montrera sur des exemples que l'étude sur calculatrice ou au tableur d'une suite ou d'une fonction permet de conjecturer des limites qui devront ensuite être justifiées.
c) Théorème « des gendarmes » pour les fonctions
On démontrera ce théorème lorsque la variable tend vers l'infini. On étendra ce théorème au cas des limites infinies.
Limites de la somme, du produit, du quotient de deux suites ou de deux fonctions ; limite de la composée de deux fonctions, de la composée d'une suite et d'une fonction.
On complétera les résultats énoncés en classe de première ; on se bornera à une justification intuitive (calculatoire ou graphique).
1. 2. Langage de la continuité et tableau de variations
a) Continuité en un point a. Continuité d'une fonction sur un intervalle
On définira la continuité de f en un point a par \lim_{a}f=f(a) ou \lim_{h\rightarrow 0}f(a+h)=f(a). On illustrera la notion de continuité sur un intervalle en parlant de tracé sans lever le crayon. On présentera à titre de contre-exemple le cas de la fonction partie entière.
b) Théorème dit des valeurs intermédiaires
« Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I et a et b deux réels dans I. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k. »
Ce théorème pourra être admis ou démontré à l'aide de suites adjacentes. On démontrera le corollaire suivant : « si f est une fonction continue strictement monotone sur [a ; b], alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k a une solution unique dans [a ; b] ». On étendra ce corollaire au cas où f est définie sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert, borné ou non, les limites de f aux bornes de l'intervalle étant supposées connues. On pourra approcher la solution de l'équation f(x) = k par dichotomie ou balayage avec la calculatrice ou au tableur.
1. 3. Dérivation
a) Rappels sur les règles de dérivation et sur le lien entre signe de la dérivée et variations de la fonction. Application à l'étude de la fonction tangente
On rappellera en particulier le théorème suivant qui sera utilisé à propos des primitives : « une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle ». On fera remarquer que toute fonction dérivable est continue. Écriture différentielle dy = f'(x)dx.
b) Dérivation d'une fonction composée
Le principe de la démonstration sera indiqué. La notation différentielle est ici un moyen mnémotechnique de retrouver la formule.
1. 4. Introduction de la fonction exponentielle
Étude de l'équation f'  =  k f. Théorème : « il existe une unique fonction f dérivable sur Ensemble R telle que f' = f et f(0) = 1. » Relation fonctionnelle caractéristique. Introduction du nombre e. Notation ex. Extension du théorème pour l'équation f' = k f
L'étude de ce problème pourra être motivée par un ou deux exemples, dont celui de la radioactivité traité en physique, ou par la recherche des fonctions dérivables f telles que f(x +  y) = f(x) f(y).
On construira avec la méthode d'Euler introduite en première des représentations graphiques approchées de f dans le cas k = 1 ; on comparera divers tracés obtenus avec des pas de plus en plus petits. L'unicité sera démontrée. L'existence sera admise dans un premier temps. Elle sera établie ultérieurement à l'occasion de la quadrature de l'hyperbole. Approximation affine, au voisinage de 0, de h\mapsto e^h.
1. 5. Étude des fonctions logarithmes et exponentielles
a) Fonction logarithme népérien ; notation ln. Équation fonctionnelle caractéristique. Dérivée ; comportement asymptotique
On mentionnera la fonction logarithme décimal, notée log, pour son utilité dans les autres disciplines et son rapport avec l'écriture décimale des nombres.
Approximation affine, au voisinage de 0, de h\mapsto \mathrm {ln} (1 + h).
b) Fonctions x \mapsto a^x pour a > 0. Comportement asymptotique ; allure des courbes représentatives
On positionnera, à l'aide d'un grapheur, les courbes représentatives de x \mapsto e^x et de x \mapsto \mathrm {ln}x par rapport à celles des fonctions x \mapsto x^n.
c) Croissance comparée des fonctions exponentielles, puissances entières et logarithme
On établira la limite en + \infty de \frac {\mathrm {e}^x} {x} et de \frac {\mathrm {ln}x} {x} ; on en déduira la limite en - \infty de xex ; on aboutira aux règles opératoires : « à l'infini, l'exponentielle de x l'emporte sur toute puissance de x » et « les puissances de x l'emportent sur le logarithme de x ». On étudiera les fonctions x \mapsto e^-kx, ou x \mapsto e^-kx2 avec k > 0, et on illustrera leur décroissance rapide.
d) Fonction racine n-ième
La racine n-ième sera introduite et expliquée ; on utilisera aussi la notation x^\frac {1} {n}.
1. 6. Suites et récurrence
a) Raisonnement par récurrence. Suite monotone, majorée, minorée, bornée
On choisira des exemples permettant d'introduire le vocabulaire usuel des suites et nécessitant l'utilisation de raisonnements par récurrence. On s'appuiera sur un traitement tant numérique (avec outils de calcul : calculatrice ou ordinateur) que graphique ou algébrique.
On étudiera numériquement sur un ou deux exemples, la rapidité de convergence d'une suite (un) vers sa limite L, en complétant l'étude sur tableur par des encadrements de (un − L). On traitera quelques problèmes menant à l'étude de suites définies par un + 1 = aun + b.
b) Suites adjacentes et théorème des suites adjacentes
La notion de suites adjacentes sera introduite en liaison avec le calcul intégral : encadrements d'aires (par exemple aire d'un cercle par la méthode d'Archimède, aire sous une parabole).
On montrera le lien avec l'écriture décimale d'un réel.
1. 7. Intégration
a) Pour une fonction f continue positive sur [a ; b], introduction de la notation \int_{a}^b f(x)\mathrm{dx} comme aire sous la courbe. Valeur moyenne d'une telle fonction
On indiquera que l'aire sous la courbe peut être approchée en l'encadrant par deux suites adjacentes construites en quadrillant le plan de plus en plus finement.
Exemple où la fonction intégrée est en escalier. Exemple de la parabole : on fera apparaître l'intégrale comme limite de sommes et on admettra que cette situation est généralisable.
b) Extension à l'intégrale et à la valeur moyenne d'une fonction de signe quelconque
On indiquera la convention de signe sur un intervalle où f est négative et on en déduira le cas général ; on pourra aussi ajouter une constante à f pour la rendre positive.
c) Linéarité, positivité, ordre, relation de Chasles. Inégalité de la moyenne
On interprétera ces propriétés en terme d'aire ou en terme de valeur moyenne pour les rendre conformes à l'intuition.
On illustrera l'intérêt de l'intégrale par diverses situations, entre autres :
  • expression intégrale de la distance parcourue sur une droite par un point mobile dont on connaît la vitesse instantanée ;
  • expression intégrale du volume d'un solide dont on connaît les aires des sections avec les plans d'équation z  = constante ;
  • calculs de probabilités d'intervalles pour des lois de probabilités à densité.
1. 8. Intégration et dérivation
a) Notion de primitive. Théorème : « si f est continue sur un intervalle I, et si a est un point de I, la fonction F telle que F(x) = \int_{a}^x f(t)\mathrm{dt} est l'unique primitive de f sur I s'annulant en a. »
On démontrera que F est une primitive de f dans le cas où f est continue et croissante, et on admettra le cas général.
b) Calcul de \int_{a}^b f(x)\mathrm{dx} à l'aide d'une primitive de f
Tableau primitives-dérivées des fonctions usuelles (fonctions x \mapsto x^n, x \mapsto \sqrt{x}, x \mapsto \mathrm {ln}x, x \mapsto e^x sinus, cosinus). Application de la dérivation des fonctions composées à la primitivation de \frac {u'} {u}, u'eu, u'un.
1. 9. Équations différentielles y' = ay + b
On démontrera l'existence et l'unicité de la solution passant par un point donné.
On étudiera quelques problèmes où interviennent des équations différentielles se ramenant à y' = ay + b.