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Mathématiques Terminale série S : le programme officiel

1. Analyse

Deux objectifs majeurs fédèrent les éléments de ce chapitre :
  • l'extension du champ des suites et des fonctions vues en classe de première à quelques nouvelles fonctions classiques : exponentielles, logarithmes, trigonométriques (telle la fonction tangente) ou faisant intervenir des radicaux ;
  • l'initiation au calcul intégral et à la problématique des équations différentielles : la présence de ces dernières, bien que modeste dans le libellé du programme, est fondamentale pour amener à la compréhension de la puissance des mathématiques pour la modélisation ; un travail conjoint avec les autres disciplines favorisera cet objectif.
1. 1. Limites de suites et de fonctions
a) Rappel de la définition de la limite d'une suite. Extension à la limite finie ou infinie d'une fonction en +\infty ou -\infty
Pour exprimer que f(x) tend vers L quand x tend vers +\infty, on dira que : « tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand ».
b) Notion de limite finie ou infinie d'une fonction en un réel a
On montrera qu'une suite croissante non majorée tend vers l'infini. On reverra à cette occasion la notion d'asymptote oblique, en se limitant aux fonctions se mettant sous la forme ax + b + h(x), où h tend vers 0 à l'infini. On montrera sur des exemples que l'étude sur calculatrice ou au tableur d'une suite ou d'une fonction permet de conjecturer des limites qui devront ensuite être justifiées.
c) Théorème « des gendarmes » pour les fonctions
On démontrera ce théorème lorsque la variable tend vers l'infini. On étendra ce théorème au cas des limites infinies.
Limites de la somme, du produit, du quotient de deux suites ou de deux fonctions ; limite de la composée de deux fonctions, de la composée d'une suite et d'une fonction.
On complétera les résultats énoncés en classe de première ; on se bornera à une justification intuitive (calculatoire ou graphique).
1. 2. Langage de la continuité et tableau de variations
a) Continuité en un point a. Continuité d'une fonction sur un intervalle
On définira la continuité de f en un point a par \lim_{a}f=f(a) ou \lim_{h\rightarrow 0}f(a+h)=f(a). On illustrera la notion de continuité sur un intervalle en parlant de tracé sans lever le crayon. On présentera à titre de contre-exemple le cas de la fonction partie entière.
b) Théorème dit des valeurs intermédiaires
« Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I et a et b deux réels dans I. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k. »
Ce théorème pourra être admis ou démontré à l'aide de suites adjacentes. On démontrera le corollaire suivant : « si f est une fonction continue strictement monotone sur [a ; b], alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k a une solution unique dans [a ; b] ». On étendra ce corollaire au cas où f est définie sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert, borné ou non, les limites de f aux bornes de l'intervalle étant supposées connues. On pourra approcher la solution de l'équation f(x) = k par dichotomie ou balayage avec la calculatrice ou au tableur.
1. 3. Dérivation
a) Rappels sur les règles de dérivation et sur le lien entre signe de la dérivée et variations de la fonction. Application à l'étude de la fonction tangente
On rappellera en particulier le théorème suivant qui sera utilisé à propos des primitives : « une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle ». On fera remarquer que toute fonction dérivable est continue. Écriture différentielle dy = f'(x)dx.
b) Dérivation d'une fonction composée
Le principe de la démonstration sera indiqué. La notation différentielle est ici un moyen mnémotechnique de retrouver la formule.
1. 4. Introduction de la fonction exponentielle
Étude de l'équation f'  =  k f. Théorème : « il existe une unique fonction f dérivable sur Ensemble R telle que f' = f et f(0) = 1. » Relation fonctionnelle caractéristique. Introduction du nombre e. Notation ex. Extension du théorème pour l'équation f' = k f
L'étude de ce problème pourra être motivée par un ou deux exemples, dont celui de la radioactivité traité en physique, ou par la recherche des fonctions dérivables f telles que f(x +  y) = f(x) f(y).
On construira avec la méthode d'Euler introduite en première des représentations graphiques approchées de f dans le cas k = 1 ; on comparera divers tracés obtenus avec des pas de plus en plus petits. L'unicité sera démontrée. L'existence sera admise dans un premier temps. Elle sera établie ultérieurement à l'occasion de la quadrature de l'hyperbole. Approximation affine, au voisinage de 0, de h\mapsto e^h.
1. 5. Étude des fonctions logarithmes et exponentielles
a) Fonction logarithme népérien ; notation ln. Équation fonctionnelle caractéristique. Dérivée ; comportement asymptotique
On mentionnera la fonction logarithme décimal, notée log, pour son utilité dans les autres disciplines et son rapport avec l'écriture décimale des nombres.
Approximation affine, au voisinage de 0, de h\mapsto \mathrm {ln} (1 + h).
b) Fonctions x \mapsto a^x pour a > 0. Comportement asymptotique ; allure des courbes représentatives
On positionnera, à l'aide d'un grapheur, les courbes représentatives de x \mapsto e^x et de x \mapsto \mathrm {ln}x par rapport à celles des fonctions x \mapsto x^n.
c) Croissance comparée des fonctions exponentielles, puissances entières et logarithme
On établira la limite en + \infty de \frac {\mathrm {e}^x} {x} et de \frac {\mathrm {ln}x} {x} ; on en déduira la limite en - \infty de xex ; on aboutira aux règles opératoires : « à l'infini, l'exponentielle de x l'emporte sur toute puissance de x » et « les puissances de x l'emportent sur le logarithme de x ». On étudiera les fonctions x \mapsto e^-kx, ou x \mapsto e^-kx2 avec k > 0, et on illustrera leur décroissance rapide.
d) Fonction racine n-ième
La racine n-ième sera introduite et expliquée ; on utilisera aussi la notation x^\frac {1} {n}.
1. 6. Suites et récurrence
a) Raisonnement par récurrence. Suite monotone, majorée, minorée, bornée
On choisira des exemples permettant d'introduire le vocabulaire usuel des suites et nécessitant l'utilisation de raisonnements par récurrence. On s'appuiera sur un traitement tant numérique (avec outils de calcul : calculatrice ou ordinateur) que graphique ou algébrique.
On étudiera numériquement sur un ou deux exemples, la rapidité de convergence d'une suite (un) vers sa limite L, en complétant l'étude sur tableur par des encadrements de (un − L). On traitera quelques problèmes menant à l'étude de suites définies par un + 1 = aun + b.
b) Suites adjacentes et théorème des suites adjacentes
La notion de suites adjacentes sera introduite en liaison avec le calcul intégral : encadrements d'aires (par exemple aire d'un cercle par la méthode d'Archimède, aire sous une parabole).
On montrera le lien avec l'écriture décimale d'un réel.
1. 7. Intégration
a) Pour une fonction f continue positive sur [a ; b], introduction de la notation \int_{a}^b f(x)\mathrm{dx} comme aire sous la courbe. Valeur moyenne d'une telle fonction
On indiquera que l'aire sous la courbe peut être approchée en l'encadrant par deux suites adjacentes construites en quadrillant le plan de plus en plus finement.
Exemple où la fonction intégrée est en escalier. Exemple de la parabole : on fera apparaître l'intégrale comme limite de sommes et on admettra que cette situation est généralisable.
b) Extension à l'intégrale et à la valeur moyenne d'une fonction de signe quelconque
On indiquera la convention de signe sur un intervalle où f est négative et on en déduira le cas général ; on pourra aussi ajouter une constante à f pour la rendre positive.
c) Linéarité, positivité, ordre, relation de Chasles. Inégalité de la moyenne
On interprétera ces propriétés en terme d'aire ou en terme de valeur moyenne pour les rendre conformes à l'intuition.
On illustrera l'intérêt de l'intégrale par diverses situations, entre autres :
  • expression intégrale de la distance parcourue sur une droite par un point mobile dont on connaît la vitesse instantanée ;
  • expression intégrale du volume d'un solide dont on connaît les aires des sections avec les plans d'équation z  = constante ;
  • calculs de probabilités d'intervalles pour des lois de probabilités à densité.
1. 8. Intégration et dérivation
a) Notion de primitive. Théorème : « si f est continue sur un intervalle I, et si a est un point de I, la fonction F telle que F(x) = \int_{a}^x f(t)\mathrm{dt} est l'unique primitive de f sur I s'annulant en a. »
On démontrera que F est une primitive de f dans le cas où f est continue et croissante, et on admettra le cas général.
b) Calcul de \int_{a}^b f(x)\mathrm{dx} à l'aide d'une primitive de f
Tableau primitives-dérivées des fonctions usuelles (fonctions x \mapsto x^n, x \mapsto \sqrt{x}, x \mapsto \mathrm {ln}x, x \mapsto e^x sinus, cosinus). Application de la dérivation des fonctions composées à la primitivation de \frac {u'} {u}, u'eu, u'un.
1. 9. Équations différentielles y' = ay + b
On démontrera l'existence et l'unicité de la solution passant par un point donné.
On étudiera quelques problèmes où interviennent des équations différentielles se ramenant à y' = ay + b.

2. Géométrie

L'objectif de ce paragraphe est d'entretenir la pratique des objets usuels du plan et de l'espace et de fournir quelques notions nouvelles permettant de parfaire l'approche entreprise dans les classes antérieures sur la géométrie vectorielle ou repérée. Dans le prolongement du repérage polaire introduit en première, les nombres complexes, outre leur intérêt historique, algébrique et interdisciplinaire pour la poursuite des études, fournissent un outil efficace dans les problèmes faisant intervenir les transformations planes. L'extension à l'espace du produit scalaire permet de résoudre de nouveaux problèmes et, de ce fait, d'approfondir la vision de l'espace.
2. 1. Géométrie plane : nombres complexes
a) Le plan complexe : affixe d'un point ; parties réelle et imaginaire d'un nombre complexe. Conjugué d'un nombre complexe. Somme, produit, quotient de nombres complexes
Le vocabulaire sera introduit à partir de considérations géométriques.
b) Module et argument d'un nombre complexe ; module et argument d'un produit, d'un quotient. Écriture e^i \theta = \cos \theta + i \sin \theta.
On retrouvera à cette occasion la notion de coordonnées polaires et celle, sous-jacente, d'équation paramétrique d'un cercle (sous la forme z=z_\omega+re^i\theta ou x=x_\omega+r \cos\theta, y=y_\omega+r \sin\theta). La notation exponentielle sera introduite après avoir montré que la fonction \Theta \mapsto \cos\Theta+i\sin\Theta vérifie l'équation fonctionnelle caractéristique des fonctions exponentielles.
c) Résolution dans Ensemble C des équations du second degré à coefficients réels

d) Interprétation géométrique de z \mapsto z' avec z' = z + b ou z' − w = k(z − w) avec k réel non nul, ou z' − w = e^i_\alpha (z − w)
On utilisera les nombres complexes pour traiter des exemples simples de configurations et résoudre des problèmes faisant intervenir des translations, des rotations, des homothéties.
2. 2. Produit scalaire dans l'espace
Rappels sur le produit scalaire dans le plan. Définition du produit scalaire de deux vecteurs dans l'espace. Propriétés, expression en repère orthonormal
Expression en repère orthonormal de la distance d'un point à une droite dans le plan.
Plan orthogonal à un vecteur passant par un point. Équation cartésienne en repère orthonormal. Expression de la distance à un plan.
Inéquation définissant un demi-espace.
2. 3. Droites et plans dans l'espace
a) Caractérisation barycentrique d'une droite, d'un plan, d'un segment, d'un triangle. Représentation paramétrique d'une droite de l'espace
On reprendra les problèmes d'alignement et de concours déjà abordés en classe de première.
b) Intersection de deux plans, d'une droite et d'un plan, de trois plans. Discussion géométrique ; discussion algébrique
On fera clairement apparaître que les problèmes géométriques considérés ici sont aussi l'étude des systèmes d'équations linéaires, que l'on résoudra algébriquement. On traitera aussi quelques situations numériques (issues de l'analyse, de situations économiques ou autres) s'y ramenant.

3. Probabilités et statistique

Après avoir introduit en classe de seconde la nature du questionnement statistique à partir de travaux sur la fluctuation d'échantillonnage, on poursuit ici la présentation entreprise en première des concepts fondamentaux de probabilité dans le cas fini avec la notion de conditionnement et d'indépendance et l'étude de quelques lois de probabilité. On vise aussi, en complément à l'usage des simulations introduit dès la seconde, une première sensibilisation à d'autres classes de problèmes, notamment celui de l'adéquation d'une loi de probabilité à des données expérimentales.
3. 1. Conditionnement et indépendance
a) Conditionnement par un événement de probabilité non nulle puis indépendance de deux événements. Indépendance de deux variables aléatoires
On justifiera la définition de la probabilité de B sachant A, notée PA(B), par des calculs fréquentiels. On utilisera à bon escient les représentations telles que tableaux, arbres, diagrammes… efficaces pour résoudre des problèmes de probabilités.
b) Formule des probabilités totales
Application à la problématique des tests de dépistage en médecine et à la loi de l'équilibre génétique lors d'appariements au hasard.
c) Statistique et modélisation. Expériences indépendantes. Cas de la répétition d'expériences identiques et indépendantes
Application aux expériences de références vues en seconde et première (dés, pièces, urnes…).
3. 2. Lois de probabilité
a) Exemples de lois discrètes. Introduction des combinaisons, notées {n \choose p}. Formule du binôme
On introduira la notation n!. L'élève devra savoir retrouver les formules
{n \choose p}={{n-1} \choose {p-1}}+{{n-1} \choose {p}} et {n \choose p}={n \choose {n-p}}.
b) Loi de Bernoulli, loi binomiale ; espérance et variance de ces lois
On appliquera ces résultats à des situations variées.
c) Exemples de lois continues. Lois continues à densité : loi uniforme sur [0 ; 1] ; loi de durée de vie sans vieillissement.
Application à la désintégration radioactive : loi exponentielle de désintégration des noyaux.
d) Statistique et simulation
Étude d'un exemple traitant de l'adéquation de données expérimentales à une loi équirépartie.

4. Enseignement de spécialité

Les paragraphes qui suivent concernent trois domaines choisis pour leur richesse mathématique au niveau d'une formation initiale. L'arithmétique est un champ des mathématiques très vivant dont les applications récentes sont nombreuses ; c'est un domaine au matériau élémentaire et accessible conduisant à des raisonnements intéressants et formateurs. C'est un lieu naturel de sensibilisation à l'algorithmique où la nécessité d'être précis impose rigueur et clarté du raisonnement. Avec l'étude des similitudes planes, on vise à la fois une synthèse des études antérieures sur les transformations et une première approche implicite de la structure de groupe. Quant au paragraphe sur les surfaces, il ouvre le champ des fonctions de plusieurs variables dans un cadre géométrique porteur de sens et peut illustrer les liens entre les représentations en trois et deux dimensions de certains objets.
4. 1. Arithmétique
a) Divisibilité dans Ensemble Z. Division euclidienne. Algorithme d'Euclide pour le calcul du PGCD. Congruences dans Ensemble Z. Entiers premiers entre eux
On fera la synthèse des connaissances acquises dans ce domaine au collège et en classe de seconde.
On étudiera quelques algorithmes simples et on les mettra en œuvre sur calculatrice ou tableur : recherche d'un PGCD, décomposition d'un entier en facteurs premiers, reconnaissance de la primalité d'un entier.
b)  Nombres premiers. Existence et unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers. PPCM
On démontrera que l'ensemble des nombres premiers est infini.
c) Théorème de Bezout. Théorème de Gauss
Sur des exemples simples, obtention et utilisation de critères de divisibilité.
Exemples simples d'équations diophantiennes.
Applications élémentaires au codage et à la cryptographie.
Application : petit théorème de Fermat.
4. 2. Similitudes planes
a) Définition géométrique. Cas des isométries. Caractérisation complexe : toute similitude a une écriture complexe de la forme z\,\mapsto\,az\,+\,b ou z\,\mapsto\,a\overline{z}\,+\,b (a non nul)
Les similitudes seront introduites comme transformations du plan conservant les rapports de distances. On fera remarquer que la réciproque d'une similitude est une similitude, que la composée de deux similitudes est une similitude et que, dans le cas général, la composition n'est pas commutative.
On démontrera qu'une similitude ayant deux points fixes distincts est l'identité ou une symétrie axiale.
b) Étude des similitudes directes
Forme réduite d'une similitude directe. On démontrera la propriété suivante : étant donnés quatre points A, B, A', B' tels que A \not= B et A' \not= B', il existe une unique similitude directe transformant A en A' et B en B'.
Applications géométriques des similitudes à l'étude de configurations, la recherche de lieux et la résolution de problèmes de construction.
4. 3. Sections planes de surfaces
Sections de cônes et cylindres illimités d'axes (Oz) par des plans parallèles aux plans de coordonnées.
Surfaces d'équation z = x2 + y2 ou z = xy coupées par des plans parallèles aux plans de coordonnées.
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