Exercice inédit

Énoncé

Soit (u n ) la suite définie pour tout entier strictement positif par : u_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-ln n.
1 On considère l'algorithme suivant :
Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur n = 3.
Exercice inédit - illustration 1
2 Recopier et compléter l'algorithme précédent afin qu'il affiche la valeur de un lorsque l'utilisateur entre la valeur n.
3 Voici les résultats fournis par l'algorithme modifié, arrondis à 10−3.
À l'aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite (un) et son éventuelle convergence.
Exercice inédit - illustration 2

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances

Thèmes du programme
Algorithme, suite, convergence, variation, boucle.
Suite
Convergente, divergente (suite)
Nos conseils
1 Faire tourner la boucle 3 fois.
2 Il suffit de modifier l'affichage.
3 Quand n augmente, un diminue. Pour n relativement grand, la valeur de un semble se stabiliser.

Corrigé

1 Lorsque l'utilisateur entre la valeur n = 3, la boucle est répétée 3 fois, on obtient:
Itération 1 : u=0+\frac{1}{1}=1.
Itération 2 : u=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Itération 3 : u=\frac{3}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}.
Donc la valeur exacte affichée est : \frac{11}{6}.
2 Il suffit de modifier la dernière instruction de l'algorithme :
Exercice inédit - illustration 3
Remarque : on aurait aussi pu modifier uniquement la sortie en écrivant :
Afficher u-\ln(n).
3 La suite semble décroissante et converger vers une valeur proche de 0,577.