Sujet national, juin 2018, exercice 4


Énoncé

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Sujet national, juin 2018, exercice 4 - illustration 1
On désigne par la fonction définie sur l'intervalle [−2 ; 4] par f(x) = (2x + 1) {\mathrm{e}}^{-2x} + 3.
On note C_f la courbe représentative de f dans un repère. Une représentation graphique est donnée ci-dessous.
1. On note f' la dérivée de la fonction f.
Montrer que, pour tout x\in[−2 ; 4], f'(x) = -4x {\mathrm{e}}^{-2x}.
Rappelez-vous que pour toutes fonctions u et v dérivables sur l'intervalle I, on a (u × v)' = u × v' + uv sur I.
2. Étudier les variations de f.
Commencez par remarquer que la fonction exponentielle est toujours positive.
3. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution sur l'intervalle [−2 ; 0] et donner une valeur approchée au dixième de cette solution.
Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle [−2 ; 0].
4. On note f'' la fonction dérivée de f'.
On admet que, pour tout x\in[−2 ; 4], f''(x) =(8x - 4){\mathrm{e}}^{-2x}.
a) Étudier le signe de f'' sur l'intervalle [−2 ; 4].
b) En déduire le plus grand intervalle dans [−2 ; 4] sur lequel f est convexe.
Pour une fonction f deux fois dérivable sur un intervalle I :
  • f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée seconde f'' est positive sur I ;
  • f est concave sur I si et seulement si sa dérivée seconde f'' est négative sur I ;
  • f admet un point d'inflexion en x\inI si et seulement si f''(x) = 0.
5. On note g la fonction définie sur l'intervalle [−2 ; 4] par g(x) = (2x + 1){\mathrm{e}}^{-2x}.
a) Vérifier que la fonction G définie pour tout x\in[−2 ; 4] par G(x) = (-x - 1){\mathrm{e}}^{-2x} est une primitive de la fonction g.
Il s'agit de montrer que pour tout x\in[−2 ; 4], G'(x) = g(x).
b) En déduire une primitive F de f.
Déduisez la réponse de la question précédente.
6. On note A l'aire du domaine D compris entre la courbe C_f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 1.
a) Hachurer le domaine D sur le graphique donné, à rendre avec la copie.
Il s'agit de l'aire du domaine situé « sous la courbe ».
b) Par lecture graphique, donner un encadrement de A, en unités d’aire, par deux entiers consécutifs.
Faites attention à l'unité sur l'axe des ordonnées : 1 carreau = 2 unités.
c) Calculer la valeur exacte de A, puis une valeur approchée au centième.
Pensez à utiliser la fonction F trouvée à la question 5. b), et remarquez que :
\int_0^1 f(x)~\mathrm{d}x = [F(x)]_0^1 par définition de F.

Annexes

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