Sujet national, juin 2018, exercice 4

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Sujet national, juin 2018, exercice 4 - illustration 1
On désigne par la fonction définie sur l'intervalle [−2 ; 4] par f(x) = (2x + 1) {\mathrm{e}}^{-2x} + 3.
On note C_f la courbe représentative de f dans un repère. Une représentation graphique est donnée ci-dessous.
1. On note f' la dérivée de la fonction f.
Montrer que, pour tout x\in[−2 ; 4], f'(x) = -4x {\mathrm{e}}^{-2x}.
Rappelez-vous que pour toutes fonctions u et v dérivables sur l'intervalle I, on a (u × v)' = u × v' + uv sur I.
2. Étudier les variations de f.
Commencez par remarquer que la fonction exponentielle est toujours positive.
3. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution sur l'intervalle [−2 ; 0] et donner une valeur approchée au dixième de cette solution.
Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle [−2 ; 0].
4. On note f'' la fonction dérivée de f'.
On admet que, pour tout x\in[−2 ; 4], f''(x) =(8x - 4){\mathrm{e}}^{-2x}.
a) Étudier le signe de f'' sur l'intervalle [−2 ; 4].
b) En déduire le plus grand intervalle dans [−2 ; 4] sur lequel f est convexe.
Pour une fonction f deux fois dérivable sur un intervalle I :
  • f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée seconde f'' est positive sur I ;
  • f est concave sur I si et seulement si sa dérivée seconde f'' est négative sur I ;
  • f admet un point d'inflexion en x\inI si et seulement si f''(x) = 0.
5. On note g la fonction définie sur l'intervalle [−2 ; 4] par g(x) = (2x + 1){\mathrm{e}}^{-2x}.
a) Vérifier que la fonction G définie pour tout x\in[−2 ; 4] par G(x) = (-x - 1){\mathrm{e}}^{-2x} est une primitive de la fonction g.
Il s'agit de montrer que pour tout x\in[−2 ; 4], G'(x) = g(x).
b) En déduire une primitive F de f.
Déduisez la réponse de la question précédente.
6. On note A l'aire du domaine D compris entre la courbe C_f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 1.
a) Hachurer le domaine D sur le graphique donné, à rendre avec la copie.
Il s'agit de l'aire du domaine situé « sous la courbe ».
b) Par lecture graphique, donner un encadrement de A, en unités d’aire, par deux entiers consécutifs.
Faites attention à l'unité sur l'axe des ordonnées : 1 carreau = 2 unités.
c) Calculer la valeur exacte de A, puis une valeur approchée au centième.
Pensez à utiliser la fonction F trouvée à la question 5. b), et remarquez que :
\int_0^1 f(x)~\mathrm{d}x = [F(x)]_0^1 par définition de F.

Corrigé

1. La fonction f est dérivable sur l'intervalle [−2 ; 4] en tant que composée, produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
En posant u(x) = 2x + 1 et v(x) = \mathrm{e}^{-2x} pour x\in[−2 ; 4], on a u'(x) = 2 et v'(x) = -2 \mathrm{e}^{-2x}, puis :
f'(x) = (u×v)'(x) = u'(xv(x) + u(xv'(x) car la dérivée d'une constante est 0
f'(x) = 2×\mathrm{e}^{-2x} + (2x + 1)×(-2 \mathrm{e}^{-2x})
f'(x) = (2 − 2(2x + 1)) \mathrm{e}^{-2x}
f'(x) = (2 − 4x − 2) \mathrm{e}^{-2x}
f'(x) = -4x \mathrm{e}^{-2x} pour tout x\in[−2 ; 4].
2. Pour tout x\in[−2 ; 4], f'(x) = -4x \mathrm{e}^{-2x}.
La fonction exponentielle étant toujours positive, f'(x) est du signe de −4x sur l'intervalle [−2 ; 4]. Donc, sur cet intervalle :
f'(x) > 0 \Leftrightarrow −4x > 0 \Leftrightarrow x < 0 ;
f'(x) < 0 \Leftrightarrow −4x < 0 \Leftrightarrow x > 0 ;
f'(x) = 0 \Leftrightarrow −4x = 0 \Leftrightarrow x = 0.
La fonction f est donc strictement croissante sur l’intervalle [−2 ; 0] et strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; 4].
3. Sur l'intervalle [−2 ; 0], la fonction f est strictement croissante d'après la question précédente.
De plus, f(-2) = (2\times (-2) + 1) {\mathrm{e}}^{-2\times (-2)} + 3 = -3{\mathrm{e}}^4 + 3 \approx −160,8 au dixième près, donc f(−2) < 0 et f(0) = (2\times 0 + 1) {\mathrm{e}}^{-2\times 0} + 3 = {\mathrm{e}}^0 + 3 = 3, donc f(0) > 0.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 0 admet donc une unique solution (notée α) sur l'intervalle [−2 ; 0].
f(-1) = (2\times (-1) + 1) {\mathrm{e}}^{-2\times (-1)} + 3 = -{\mathrm{e}}^2 + 3 \approx −4,4 au dixième près.
On a donc uniquement −1 < α < 0.
À l'aide d'un tableau de valeurs, on obtient : −0,9 < α < −0,8.
x
f(x)
−1
−4,3890561
−0,9
−1,83971797
−0,8
−0,02818055
−0,7
−1,37792001
−0,6
−2,33597662
−0,5
−3
−0,4
−3,44510819
−0,3
−3,72884752
−0,2
3,89509482
−0,1
−3,97712221
0
4

Une valeur approchée de α au dixième près est donc −0,9 ou −0,8.
4. 
a) Pour tout x\in[−2 ; 4], f''(x) = (8x - 4) \mathrm{e}^{-2x}.
La fonction exponentielle étant toujours positive, f''(x) est du signe de 8x − 4 sur l'intervalle [−2 ; 4]. Donc, sur cet intervalle :
f''(x) > 0 \Leftrightarrow 8x − 4 > 0 \Leftrightarrow 8x > 4 \Leftrightarrow x > \frac{4}{8} = 0,5 ;
f''(x) < 0 \Leftrightarrow 8x − 4 < 0 \Leftrightarrow 8x < 4 \Leftrightarrow x < \frac{4}{8} = 0,5 ;
f''(x) = 0 \Leftrightarrow 8x − 4 = 0 \Leftrightarrow 8x = 4 \Leftrightarrow x = \frac{4}{8} = 0,5.
Finalement, f''(x) < 0 sur l'intervalle [−2 ; 0,5] et f''(x) > 0 sur l'intervalle [0,5 ; 4].
b) Pour une fonction f deux fois dérivable sur un intervalle I, f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée seconde f'' est positive sur I.
D'après la question précédente, le plus grand intervalle dans [−2 ; 4] sur lequel f est convexe est l'intervalle [0,5 ; 4].
5. 
a) Montrons que pour tout x\in[−2 ; 4], G'(x) = g(x).
La fonction G définie par G(x)=(-x - 1)\mathrm{e}^{-2x} est dérivable sur l'intervalle [−2 ; 4] en tant que composée et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
En posant u(x) = −x − 1 et v(x) = \mathrm{e}^{-2x} pour x\in[−2 ; 4], on a u'(x) = −1 et v'(x) = -2\mathrm{e}^{-2x}, puis :
G'(x) = (u×v)'(x) = u'(xv(x) + u(xv'(x)
G'(x) = (−1)×\mathrm{e}^{-2x} + (−x − 1)×(-2\mathrm{e}^{-2x})
G'(x) = [−1 −2(−x − 1)] \mathrm{e}^{-2x}
G'(x) = [−1 + 2x + 2] \mathrm{e}^{-2x}
G'(x) = (2x + 1)\mathrm{e}^{-2x}
G'(x) = g(x) pour tout x\in[−2 ; 4].
La fonction G définie sur l'intervalle [−2 ; 4] par G(x)=(-x-1)\mathrm{e}^{-2x} est une primitive de g sur cet intervalle.
b) Pour tout x \in [−2 ; 4], f(x) = g(x) + 3.
D'après la question précédente, la fonction G est une primitive de la fonction g sur l'intervalle [−2 ; 4].
Une primitive de la fonction f sur l'intervalle [−2 ; 4] est donc la fonction F définie par F(x) =  G(x) +  3x = (-x - 1)\mathrm{e}^{-2x} +  3x.
6. a) 
Sujet national, juin 2018, exercice 4 - illustration 2
b) 
Sujet national, juin 2018, exercice 4 - illustration 3
On peut encadrer cette intégrale par les aires de deux rectangles :
un rectangle de longueur 3 et de largeur 1, et un rectangle de longueur 4 et de largeur 1.
En unités d'aire, on a donc : 3 < A < 4.
c) f étant positive sur l'intervalle [0 ; 1], l'aire du domaine compris entre la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 1 est (en u.a.) A = \int_0^1 f(x)~\mathrm{d}x.
D'après la question 5. b), F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [−2 ; 4], donc :
A = \int_0^1 f(x)~\mathrm{d}x
A = [F(x)]_0^1
A = [(-x-1)\mathrm{e}^{-2x} + 3x]_0^1
A = (-1-1)\mathrm{e}^{-2\times 1} + 3\times 1 - [(-0-1)\mathrm{e}^{-2\times 0} + 3\times 0]
A = -2\mathrm{e}^{-2} + 3 + \mathrm{e}^0
A = -2\mathrm{e}^{-2} + 4 u.a.
A \approx 3,73 u.a. au centième près.