Sujet national, juin 2018, exercice 3

Énoncé

(5 points)
Un lac de montagne est alimenté par une rivière et régulé par un barrage, situé en aval, d'une hauteur de 10 m.
On mesure le niveau d'eau du lac chaque jour à midi.
Le 1er janvier 2018, à midi, le niveau d'eau du lac était de 6,05 m.
Entre deux mesures successives, le niveau d'eau du lac évolue de la façon suivante :
  • d'abord une augmentation de 6 % (apport de la rivière) ;
  • ensuite une baisse de 15 cm (écoulement à travers le barrage).
1. On modélise l'évolution du niveau d'eau du lac par une suite (u_n)_{n\in \mathbb{N}}, le terme un représentant le niveau d'eau du lac à midi, en cm, n jours après le 1er janvier 2018.
Ainsi le niveau d'eau du lac le 1er janvier 2018 à midi est donné par u0 = 605.
a) Calculer le niveau du lac, en cm, le 2 janvier 2018 à midi.
Pour calculer u1, commencez par rajouter à u0 l'apport d'eau de la rivière, puis soustrayez le niveau de l'eau qui s'écoule à travers le barrage, selon les données de l'énoncé.
b) Montrer que, pour tout n\in \mathbb{N}, u_{n+1} = 1,06 u_n - 15.
Généralisez le raisonnement de la question 1. a).
2. On pose, pour tout n\in \mathbb{N}, v_n = u_n - 250.
a) Montrer que la suite (v_n) est géométrique de raison 1,06. Préciser son terme initial.
Montrez que pour tout entier naturel n, v_{n+1} peut s'écrire sous la forme :
v_{n+1} = 1,06×v_n.
b) Montrer que, pour tout n\in \mathbb{N}, u_n = 355\times 1,06^n + 250.
Commencez par déterminer l'expression de v_n en fonction de n, puis déduisez-en celle de u_n.
3. Lorsque le niveau du lac dépasse 10 m, l'équipe d'entretien doit agrandir l'ouverture des vannes du barrage.
a) Déterminer la limite de la suite (u_n).
Pour déterminer la limite de la suite (u_n), commencez par remarquer que 1,06 > 1.
b) L'équipe d'entretien devra-t-elle ouvrir les vannes afin de réguler le niveau d'eau ? Justifier la réponse.
Interprétez la limite trouvée à la question précédente.
4. Afin de déterminer la première date d'intervention des techniciens, on souhaite utiliser l'algorithme incomplet ci-dessous.
N← 0
U← 605
Tant que […] faire
U← […]
NN + 1
Fin Tant que
a) Recopier et compléter l'algorithme.
Remarquez qu'il faut que l'algorithme s'arrête lorsque U > 1 000.
b) À la fin de l'exécution de l'algorithme, que contient la variable N ?
Remarquez qu'il s'agit de résoudre l'inéquation u_n > 1 000 pour trouver la valeur n qui convient.
c) En déduire la première date d'intervention des techniciens sur les vannes du barrage.
Déduisez le résultat de la question précédente.

Corrigé

1. 
a) Dans un premier temps, le 2 janvier 2018 à midi, l'apport de la rivière a fait augmenter le niveau d'eau du lac de 6 %.
Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 6 % est 1+ \frac{6}{100} = 1 + 0,06 = 1,06, donc le niveau d'eau du lac est de 1,06 × 605 = 641,30 cm.
Dans un second temps, l'écoulement à travers le barrage a fait baisser le niveau d'eau du lac de 15 cm.
On a donc u1 = 641,30 − 15 = 626,30 cm.
Le 2 janvier 2018 à midi, le niveau d'eau du lac est de u1 = 626,30 cm.
b) Soit n un entier naturel. Le niveau de l'eau du lac à midi, en cm, n jours après le 1er janvier 2018 est u_n.
Le lendemain à midi, l'apport de la rivière a fait augmenter le niveau d'eau du lac de 6 % donc, en cm, il est de 1,06 \times u_n = 1,06 u_n.
Aussi, l'écoulement à travers le barrage a fait baisser le niveau d'eau du lac de 15 cm donc, en cm, il est de 1,06 u_n - 15.
Finalement, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = 1,06 u_n - 15.
2. 
a) Pour tout entier naturel n, v_{n+1} = u_{n+1} - 250, puis
v_{n+1} = 1,06×u_n − 15 − 250 par définition de u_{n+1}
v_{n+1} = 1,06×u_n − 265
v_{n+1} = 1,06×u_n − 1,06×250 car 265 = 1,06×250
v_{n+1} = 1,06×(u_n − 250) en factorisant l'expression par 1,06
v_{n+1} = 1,06×v_n par définition de v_n.
La suite (v_n) est donc une suite géométrique de raison q = 1,06 et de premier terme v0 = u0 − 250 = 605 − 250 = 355.
b) D'après la formule donnant le terme général d'une suite géométrique en fonction de son premier terme v0 = 355 et de sa raison q = 1,06, on a :
v_n = v_0 \times q^n = 355\times 1,06^n pour tout nombre entier naturel n.
Pour tout nombre entier naturel n, on a donc u_n = v_n + 250 = 355\times 1,06^n + 250.
3. 
a) Pour tout entier naturel n, u_n = 355\times 1,06^n + 250.
1,06 > 1 donc \lim_{n \to +\infty} 1,06^n = +\infty , puis \lim_{n \to +\infty} 355\times 1,06^n = +\infty.
On a donc \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} (355\times 1,06^n + 250) = +\infty.
b) \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty donc, au bout d'un certain nombre de jours, le niveau d'eau du lac dépassera 10 m et l'équipe d’entretien devra ouvrir les vannes afin de réguler le niveau d'eau.
4. 
a) Il faut que l'algorithme s'arrête lorsque U > 1 000.
N← 0
U← 605
Tant que Uinférieur ou égal 1 000 faire
U← 1,06 U− 15
NN + 1
Fin Tant que
b) L'algorithme retourne la plus petite valeur n telle que u_n > 1 000. Déterminons cette valeur à l'aide d'une inéquation.
u_n > 1 000 \Leftrightarrow 355\times 1,06^n + 250 > 1 000
u_n > 1 000 \Leftrightarrow 355\times 1,06^n > 1 000 − 250 = 750
u_n > 1 000 \Leftrightarrow 1,06^n > \frac{750}{355}
u_n > 1 000 \Leftrightarrow \ln(1,06^n) > ln(\frac{750}{355}) car la fonction ln est strictement croissante sur ]0~; +\infty[
u_n > 1 000 \Leftrightarrow n ln(1,06) > ln(\frac{750}{355}) car \ln(a^n) = n ln(a) pour tout a\in ]0~; +\infty[ et n\in \mathbb{N}.
u_n > 1 000 \Leftrightarrow n > \frac{\ln(\frac{750}{355})}{\ln(1,06)} car ln(1,06) > ln(1) = 0
\frac{\ln(\frac{750}{355})}{\ln(1,06)} \approx 12,84 au centième près, donc la plus petite valeur n telle que u_n > 1 000 est 13.
À la fin de l'exécution de l'algorithme, la variable N contient la valeur 13.
c) D'après la question précédente, c'est à partir de n = 13 que u_n > 1 000.
La première date d'intervention des techniciens sur les vannes du barrage est donc le 14 janvier 2018.