Sujet national, juin 2018, exercice 2

Énoncé

(4 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Reporter sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Aucune justification n'est demandée.
Partie A
Dans un établissement scolaire, 30 % des élèves sont inscrits dans un club de sport, et parmi eux, 40 % sont des filles. Parmi ceux n'étant pas inscrits dans un club de sport, 50 % sont des garçons.
Pour tout événement E, on note \bar{E} l'événement contraire de E et p(E) sa probabilité. Pour tout événement F de probabilité non nulle, on note p_F(E) la probabilité de E sachant que F est réalisé.
On interroge un élève au hasard et on considère les événements suivants :
  • S : « l'élève est inscrit dans un club de sport » ;
  • F : « l'élève est une fille ».
La situation est représentée par l'arbre pondéré ci-dessous.
Sujet national, juin 2018, exercice 2 - illustration 1
1. La probabilité p_{\bar{F}}(S) est la probabilité que l'élève soit :
a) inscrit dans un club de sport sachant que c'est un garçon.;
b) un garçon inscrit dans un club de sport.
c) inscrit dans un club de sport ou un garçon.
d) un garçon sachant qu'il est inscrit dans un club de sport.
Faites attention à l'ordre des événements de cette probabilité conditionnelle.
2. On admet que p(F) = 0,47. La valeur arrondie au millième de p_F(S) est :
a)  0,141.
b)  0,255.
c)  0,400.
d)  0,638.
Ne confondez pas les probabilités conditionnelles p_F(S) et p_S(F).
Partie B
Soit g la fonction définie sur [−1 ; 4] par g(x) = -x^3 + 3x^2 - 1 et C_g sa courbe représentative dans un repère.
1. La tangente à la courbe C_g au point d'abscisse 1 a pour équation :
a) y = -3x^2 + 6x.
b)  y = 3x - 2.
c)  y = 3x - 3.
d) y = 2x - 1.
Rappelez-vous que la tangente à la courbe C_g au point d'abscisse 1 a pour équation :
y = g'(1)(x − 1) + g(1).
2. La valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle [−1 ; a] est nulle pour :
a) a = 0.
b) a = 1.
c)  a = 3.
d)  a = 4.
En supposant que a > −1, rappelez-vous que l'expression de la valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle [−1 ; a] est :
μ = \frac{1}{a + 1} \int_{-1}^a g(x) \mathrm{d}x.

Corrigé

Partie A
1. 
Par définition, la probabilité conditionnelle p_{\bar{F}}(S) est la probabilité que l'élève soit inscrit dans un club de sport sachant que c'est un garçon.
La bonne réponse est la réponse a).
2. D'après la formule des probabilités conditionnelles, on a :
p_F(S) = \frac{p(F\cap S)}{p(F)}
p_F(S) = \frac{p_S(F) \times p(S)}{p(F)} en appliquant de nouveau la formule des probabilités conditionnelles.
p_F(S) = \frac{0,4 \times 0,3}{0,47} car p_S(F) = 0,4, p(S) = 0,3 et p(F) = 0,47.
p_F(S) = \frac{0,12}{0,47}
p_F(S) \approx 0,255 au millième près.
La bonne réponse est la réponse b).
Partie B
1. La tangente à la courbe C_g au point d'abscisse 1 a pour équation :
yg'(1)(x − 1) + g(1).
La fonction g est dérivable sur l'intervalle [−1 ; 4] et g'(x) = -3x^2 + 6x sur cet intervalle.
On a donc g'(1) = −3 + 6 = 3.
De plus, g(1) = −1 + 3 − 1 = 1, donc une équation de la tangente à la courbe C_g au point d'abscisse 1 est :
y = 3(x − 1) + 1 = 3x − 3 + 1 = 3x − 2.
La bonne réponse est la réponse b).
2. On suppose que a > −1.
La valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle [−1 ; a] est :
μ = \frac{1}{a + 1} \int_{-1}^a g(x) \mathrm{d}x
μ = \frac{1}{a + 1} \int_{-1}^a (-x^3 + 3x^2 - 1) \mathrm{d}x
μ = \frac{1}{a + 1} [-\frac{x^4}{4} + \frac{3x^3}{3} - x]_{-1}^a
μ = \frac{1}{a + 1} [-\frac{x^4}{4} + x^3 - x]_{-1}^a
μ = \frac{1}{a + 1} [-\frac{a^4}{4} + a^3 - a - (-\frac{{(-1)}^4}{4} + {(-1)}^3 - (-1)]
μ = \frac{1}{a + 1} [-\frac{a^4}{4} + a^3 - a - (-\frac{1}{4} -1+1]
μ = \frac{1}{a + 1} [-\frac{a^4}{4} + a^3 - a + \frac{1}{4}].
Pour a = 0, μ = \frac{1}{1} \times \frac{1}{4}\frac{1}{4}.
Pour a = 1, μ = \frac{1}{2} [-\frac{1}{4} + 1 - 1 + \frac{1}{4}]\frac{1}{2} \times 0 = 0.
Pour a = 2, μ = \frac{1}{3} [-\frac{16}{4} + 18 - 2 + \frac{1}{4}]\frac{1}{3} \times (-4 + 18 - 2 + \frac{1}{4})\frac{1}{3} \times (12 + \frac{1}{4})\frac{1}{3} \times \frac{49}{4}\frac{49}{12}.
Pour a = 3, μ = \frac{1}{4} [-\frac{81}{4} + 27 - 3 + \frac{1}{4}]\frac{1}{4} \times (-\frac{80}{4} + 24)\frac{1}{4} \times (-20 + 24) = 1.
C'est donc pour a = 1 que la valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle [−1 ; a] est nulle.
La bonne réponse est la réponse b).