Sujet national, juin 2018, exercice 1

Énoncé

(5 points)
Partie A
Le temps passé par un client, en minutes, dans un supermarché peut être modélisé par une variable aléatoire X suivant la loi normale d'espérance 45 et d'écart-type 12.
Pour tout événement E, on note p(E) sa probabilité.
1. Déterminer, en justifiant :
a) p (X = 10).
Rappelez-vous que, dans le cadre d'une variable aléatoire qui suit une loi normale, la probabilité d'un événement est définie par une intégrale.
b) p (X \geq 45).
Remarquez que μ = 45.
c) p (21 \leq X \leq 69).
Remarquez que vous pouvez exprimer les nombres 21 et 69 en fonction de μ et de σ.
d)  p (21 \leq X \leq 45).
Pour calculer cette probabilité, pensez à utiliser la probabilité précédente.
2. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu'un client passe entre 30 et 60 minutes dans ce supermarché.
Calculez cette probabilité à la calculatrice.
3. Déterminer la valeur de a, arrondie à l'unité, telle que p (X \leq a) = 0,30. Interpréter la valeur de a dans le contexte de l'énoncé.
Déterminez la valeur a à la calculatrice.
Partie B
En 2013, une étude a montré que 89 % des clients étaient satisfaits des produits de ce supermarché.
1. Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de  95 % de la proportion de clients satisfaits pour un échantillon de 300 clients pris au hasard en 2013.
Lors d'une enquête réalisée en 2018 auprès de 300 clients choisis au hasard, 286 ont déclaré être satisfaits.
Si les hypothèses sont vérifiées, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % en fonction des valeurs n et p est :
I = \left[ p - 1,96 \frac{\sqrt{p (1-p)}}{\sqrt{n}} ; p + 1,96 \frac{\sqrt{p (1-p)}}{\sqrt{n}} \right].
2. Calculer la fréquence de clients satisfaits dans l'enquête réalisée en 2018.
Vous devez trouver une valeur qui est comprise entre 0,9 et 1.
3. Peut-on affirmer, au seuil de 95 %, que le taux de satisfaction des clients est resté stable entre 2013 et 2018 ? Justifier.
Que peut-on dire à propos de la réponse à la question 2. et de l'intervalle de fluctuation trouvé à la question 1. ?

Corrigé

Partie A
1. 
a) On a p (X = 10) = p (10 \leq X \leq 10) = 0 car cette probabilité est égale à une intégrale dont les deux bornes sont les mêmes.
b) La variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne μ = 45 donc : p (X \geq 45) = 0,5.
c) p (21 \leq X \leq 69) = p (45 - 24 \leq X \leq 45 + 24) = p (\mu - 2\times \sigma \leq X \leq \mu + 2\times \sigma) \approx 0,95 au centième près, d'après le cours.
d) La variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne μ = 45 donc :
p (21 \leq X \leq 69) = p (21 \leq X \leq 45) + p (45 \leq X \leq 69)
p (21 \leq X \leq 69) = 2\times p (21 \leq X \leq 45) car p (21 \leq X \leq 45) = p (45 \leq X \leq 69) par symétrie
p (21 \leq X \leq 45) = \frac{p (21 \leq X \leq 69)}{2}
p (21 \leq X \leq 45) \approx \frac{0,95}{2}
p (21 \leq X \leq 45) \approx 0,475 d'après la question précédente.
2. La variable aléatoire X suit la loi normale N(45 ; 122) et il s'agit de déterminer p(30 inférieur ou égal X inférieur ou égal 60) en utilisant la calculatrice.
Avec une CASIO
Dans les menus « STAT », puis « DIST », puis « NORM », puis « ncd », entrer :
  • Lower : 30 ;
  • Upper : 60 ;
  • σ : 12 ;
  • μ : 45 ;
  • Puis calculer.
Avec une T.I.
Dans les menus « DISTR » (avec « 2nd » puis «VARS  »), puis « normalcdf( » (ou bien « normalFRép ( » selon les modèles), complétez en « normalcdf(30,60,45,12) » (ou bien « normalFRép (30,60,45,12) »).
On obtient : p(30 inférieur ou égal X inférieur ou égal 60) \approx 0,789 au millième près.
La probabilité qu'un client passe entre 30 et 60 minutes dans ce supermarché est d'environ 0,789.
3. Déterminons la valeur a telle que p (X \leq a) = 0,30 en utilisant la calculatrice.
Avec une CASIO
Dans les menus « STAT », puis « DIST », puis « NORM », puis « ncd », entrez :
  • Area : 0.35 ;
  • σ : 12 ;
  • μ : 45 ;
Puis calculez.
Avec une T.I.
Dans les menus « DISTR » (avec « 2nd » puis «VARS  »), on sélectionne « invNorm( » (ou bien « FracNormale( » selon les modèles), complétez en « invNorm(0.35,45,12) » (ou bien « FracNormale(0.35,45,12) »).
On obtient a \approx 38,7 \approx 39 arrondie à l'unité près.
La probabilité qu'un client passe moins de 39 minutes dans ce supermarché est d'environ 0,3.
Partie B
1. On a n = 300 et p = \frac{89}{100} = 0,89 et on vérifie que 0 < p = 0,89 < 1, n = 300 supérieur ou égal 30, np = 300 × 0,89 = 267 supérieur ou égal 5 et n(1 − p) = 300 × 0,11 = 33 supérieur ou égal 5.
L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la proportion de clients satisfaits pour un échantillon de 300 clients pris au hasard en 2013 est :
I300 = \left[ p - 1,96 \frac{\sqrt{p (1-p)}}{\sqrt{n}} ; p + 1,96 \frac{\sqrt{p (1-p)}}{\sqrt{n}} \right]
I300 = \left[ 0,89 - 1,96\times \frac{\sqrt{0,89\times 0,11}}{\sqrt{300}} ; 0,89 +1,96\times \frac{\sqrt{0,89\times 0,11}}{\sqrt{300}} \right]
I300 \approx [0,854 ; 0,926] en arrondissant les bornes au millième près (par défaut pour la borne inférieure et par excès pour la borne supérieure).
2. La fréquence des clients satisfaits dans l'enquête réalisée en 2018 est f = \frac{286}{300} \approx 0,953 au millième près.
3. On a f \notinI300 \approx [0,854 ; 0,926].
Au seuil de 95 %, on peut donc affirmer que le taux de satisfaction des clients n'est pas resté stable entre  2013 et 2018.