Sujet national, juin 2017, exercice 3


Énoncé

(6 points)
Une entreprise souhaite utiliser un motif décoratif pour sa communication.
Pour réaliser ce motif, on modélise sa forme à l'aide de deux fonctions f et g définies par :
pour tout réel x de [0 ; 1], f(x) = (1-x){\mathrm{e}}^{3x} et g(x) = x^2 -2x + 1.
Leurs courbes représentatives seront notées respectivement C_f et C_g.
Sujet national, juin 2017, exercice 3 - illustration 1
Partie A
Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants.
dériver((1−x)*exp(3x))
   : −3x*exp(3*x)+2*exp(3*x)

factoriser(−3x*exp(3*x)+2*exp(3*x))
   : exp(3x)*(−3x+2)

factoriser(dériver(exp(3x)*(−3x+2)))
   : 3*exp(3*x)(1-3x)
Lecture : la dérivée de la fonction f est donnée par f'(x)=-3x{\mathrm{e}}^{3x} + 2{\mathrm{e}}^{3x}, ce qui, après factorisation, donne f'(x)= (-3x + 2) {\mathrm{e}}^{3x}.
1. Étudier sur [0 ; 1] le signe de la fonction dérivée f', puis donner le tableau de variation de f sur [0 ; 1] en précisant les valeurs utiles.
Étudiez le signe de −3x + 2 sur l'intervalle [0 ; 1].
2. La courbe C_f possède un point d'inflexion. Déterminer ses coordonnées.
Le point I d'abscisse x est un point d'inflexion pour la courbe représentative de f (deux fois dérivable) si et seulement si f'' s'annule en changeant de signe en x.
Partie B
On se propose de calculer l'aire de la partie grisée sur le graphique.
1. Vérifier que les points A et B de coordonnées respectives (1 ; 0) et (0 ; 1) sont des points communs aux courbes C_f et C_g.
Montrez que f(1) = g(1) = 0 et f(0) = g(0) = 1.
2. On admet que : pour tout x dans [0 ; 1], f(x)-g(x) = (1-x)({\mathrm{e}}^{3x} - 1+ x).
a) Justifier que pour tout x dans [0 ; 1], {\mathrm{e}}^{3x} - 1 \geq 0.
Utilisez le fait que la fonction x\mapsto {\mathrm{e}}^{3x} est croissante sur l'intervalle [0 ; 1].
b) En déduire que pour tout x dans [0 ; 1], {\mathrm{e}}^{3x} - 1 + x \geq 0.
Remarquez que −x est négatif sur l'intervalle [0 ; 1].
c) Étudier le signe de f(x) − g(x) pour tout x dans [0 ; 1].
Étudiez le signe de chacun des facteurs de l'expression de f(x)-g(x) sur l'intervalle [0 ; 1].
3. 
a) Calculer \int_0^1 g(x) \mathrm{d}x.
Rappelez-vous qu'une primitive de la fonction x\mapsto x^n (n\in\mathbb{N}) sur l'intervalle [0 ; 1] est la fonction x\mapsto \frac{1}{n+1} x^{n+1}.
b) On admet que : \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x = \frac{{\mathrm{e}}^3 - 4}{9}.
Calculer l'aire S, en unité d'aire, de la partie grisée. Arrondir le résultat au dixième.
Remarquez qu'il s'agit de calculer \int_0^1 (f(x) - g(x)) \mathrm{d}x, puis utilisez la linéarité de l'intégrale pour effectuer le calcul.

Annexes

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