Sujet national, juin 2017, exercice 3

Énoncé

(6 points)
Une entreprise souhaite utiliser un motif décoratif pour sa communication.
Pour réaliser ce motif, on modélise sa forme à l'aide de deux fonctions f et g définies par :
pour tout réel x de [0 ; 1], f(x) = (1-x){\mathrm{e}}^{3x} et g(x) = x^2 -2x + 1.
Leurs courbes représentatives seront notées respectivement C_f et C_g.
Sujet national, juin 2017, exercice 3 - illustration 1
Partie A
Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants.
dériver((1−x)*exp(3x))
   : −3x*exp(3*x)+2*exp(3*x)

factoriser(−3x*exp(3*x)+2*exp(3*x))
   : exp(3x)*(−3x+2)

factoriser(dériver(exp(3x)*(−3x+2)))
   : 3*exp(3*x)(1-3x)
Lecture : la dérivée de la fonction f est donnée par f'(x)=-3x{\mathrm{e}}^{3x} + 2{\mathrm{e}}^{3x}, ce qui, après factorisation, donne f'(x)= (-3x + 2) {\mathrm{e}}^{3x}.
1. Étudier sur [0 ; 1] le signe de la fonction dérivée f', puis donner le tableau de variation de f sur [0 ; 1] en précisant les valeurs utiles.
Étudiez le signe de −3x + 2 sur l'intervalle [0 ; 1].
2. La courbe C_f possède un point d'inflexion. Déterminer ses coordonnées.
Le point I d'abscisse x est un point d'inflexion pour la courbe représentative de f (deux fois dérivable) si et seulement si f'' s'annule en changeant de signe en x.
Partie B
On se propose de calculer l'aire de la partie grisée sur le graphique.
1. Vérifier que les points A et B de coordonnées respectives (1 ; 0) et (0 ; 1) sont des points communs aux courbes C_f et C_g.
Montrez que f(1) = g(1) = 0 et f(0) = g(0) = 1.
2. On admet que : pour tout x dans [0 ; 1], f(x)-g(x) = (1-x)({\mathrm{e}}^{3x} - 1+ x).
a) Justifier que pour tout x dans [0 ; 1], {\mathrm{e}}^{3x} - 1 \geq 0.
Utilisez le fait que la fonction x\mapsto {\mathrm{e}}^{3x} est croissante sur l'intervalle [0 ; 1].
b) En déduire que pour tout x dans [0 ; 1], {\mathrm{e}}^{3x} - 1 + x \geq 0.
Remarquez que −x est négatif sur l'intervalle [0 ; 1].
c) Étudier le signe de f(x) − g(x) pour tout x dans [0 ; 1].
Étudiez le signe de chacun des facteurs de l'expression de f(x)-g(x) sur l'intervalle [0 ; 1].
3. 
a) Calculer \int_0^1 g(x) \mathrm{d}x.
Rappelez-vous qu'une primitive de la fonction x\mapsto x^n (n\in\mathbb{N}) sur l'intervalle [0 ; 1] est la fonction x\mapsto \frac{1}{n+1} x^{n+1}.
b) On admet que : \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x = \frac{{\mathrm{e}}^3 - 4}{9}.
Calculer l'aire S, en unité d'aire, de la partie grisée. Arrondir le résultat au dixième.
Remarquez qu'il s'agit de calculer \int_0^1 (f(x) - g(x)) \mathrm{d}x, puis utilisez la linéarité de l'intégrale pour effectuer le calcul.

Corrigé

Partie A
1. Pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 1], f'(x)= (-3x + 2) {\mathrm{e}}^{3x} qui est du signe de −3x + 2 sur cet intervalle, car l'exponentielle est toujours positive.
Étudions le signe de −3x + 2 sur l'intervalle [0 ; 1] :
−3x + 2 > 0 \Leftrightarrow −3x > −2 \Leftrightarrow 3x < 2 \Leftrightarrowx < \frac{2}{3} ;
−3x + 2 < 0 \Leftrightarrow −3x < −2 \Leftrightarrow 3x > 2 \Leftrightarrowx > \frac{2}{3} ;
−3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}.
On a donc : f'(x) > 0 sur l'intervalle [0 ; \frac{2}{3}[, f'(x) < 0 sur l'intervalle ]\frac{2}{3} ; 1] et f'(\frac{2}{3}) = 0.
La fonction f est donc strictement croissante sur l'intervalle [0 ; \frac{2}{3}] et strictement décroissante sur l'intervalle [\frac{2}{3} ; 1].
f(0) = (1 − 0)e0 = 1 ; f(\frac{2}{3}) = (1 - \frac{2}{3}) {\mathrm{e}}^{3\times \frac{2}{3}} = \frac{1}{3}{\mathrm{e}}^2 =\frac{{\mathrm{e}}^2}{3} ; f(1) = (1 − 1)e3 = 0.
On obtient donc le tableau de variation suivant :
Sujet national, juin 2017, exercice 3 - illustration 2
2. Soit I d'abscisse x le point d'inflexion de la courbe C_f.
D'après la définition d'un point d'inflexion, f'' s'annule en changeant de signe en x.
D'après le logiciel de calcul formel, f''(x) = 3{\mathrm{e}}^{3x} (1 - 3x) pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 1].
Clairement, f''(x) s'annule (en changeant de signe) lorsque 1 − 3x s'annule, donc lorsque 3x = 1, c'est-à-dire lorsque x = \frac{1}{3}.
De plus, f(\frac{1}{3}) = (1 - \frac{1}{3}) {\mathrm{e}}^{3\times \frac{1}{3}} = \frac{2}{3}{\mathrm{e}}^1 =\frac{2\mathrm{e}}{3}, donc les coordonnées du point d'inflexion de la courbe C_f sont A(\frac{1}{3} ; \frac{2\mathrm{e}}{3}).
Partie B
1. f(1) = (1 − 1)e3 = 0 et g(1) = 12 − 2 × 1 + 1 = 1 − 2 + 1 = 0, donc le point A(1 ; 0) est un point des courbes C_f et C_g.
f(0) = (1 − 0)e0 = 1 et g(0) = 02 − 2 × 0 + 1 = 1, donc le point B(0 ; 1) est un point des courbes C_f et C_g.
Finalement, les points A(1 ; 0) et B(0 ; 1) sont donc des points communs aux courbes C_f et C_g.
2. 
a) La fonction x\mapsto {\mathrm{e}}^{3x} a pour dérivée la fonction x\mapsto 3{\mathrm{e}}^{3x} sur l'intervalle [0 ; 1].
Pour tout x\in[0 ; 1], 3{\mathrm{e}}^{3x} > 0, donc la fonction x\mapsto {\mathrm{e}}^{3x} est croissante sur l'intervalle [0 ; 1].
Pour tout x\in[0 ; 1], on a donc {\mathrm{e}}^{3x} \geq {\mathrm{e}}^{3\times 0} =  e0 = 1, puis {\mathrm{e}}^{3x} - 1 \geq 0.
b) Pour tout x\in[0 ; 1], 0 \geqx donc {\mathrm{e}}^{3x} - 1 \geq 0 \geq -x, puis {\mathrm{e}}^{3x} - 1 + x \geq 0.
c) Pour tout x dans [0 ; 1], f(x)-g(x) =(1-x)({\mathrm{e}}^{3x} - 1+ x).
Pour tout x\in[0 ; 1], {\mathrm{e}}^{3x} - 1 + x \geq 0 et x \leq 1, donc 1 − x \geq 0.
Finalement, f(x)-g(x) =(1-x)({\mathrm{e}}^{3x} - 1+ x) \geq 0 pour tout x dans [0 ; 1].
3. 
a) \int_0^1 g(x) \mathrm{d}x\int_0^1 x^2 - 2x + 1 \mathrm{d}x
\int_0^1 g(x) \mathrm{d}x[\frac{1}{3} x^3 - x^2 + x]_0^1
\int_0^1 g(x) \mathrm{d}x\frac{1}{3} - 1 + 1
\int_0^1 g(x) \mathrm{d}x = \frac{1}{3}.
b) Pour tout x dans [0 ; 1], f(x)-g(x) =(1-x)({\mathrm{e}}^{3x} - 1+ x) \geq 0.
L'aire de la partie grisée est donc, en unités d'aires, \int_0^1 (f(x) - g(x)) \mathrm{d}x.
\int_0^1 (f(x) - g(x)) \mathrm{d}x\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x - \int_0^1 f(x)\mathrm{d}x.
\int_0^1 (f(x) - g(x)) \mathrm{d}x\frac{{\mathrm{e}}^3 - 4}{9} - \frac{1}{3}.
\int_0^1 (f(x) - g(x)) \mathrm{d}x =\frac{{\mathrm{e}}^3 - 4 - 3}{9}.
\int_0^1 (f(x) - g(x)) \mathrm{d}x\frac{{\mathrm{e}}^3 - 7}{9} u.a.
\int_0^1 (f(x) - g(x)) \mathrm{d}x \approx 1,5 u.a.
L'aire de la partie grisée est donc d'environ 1,5 unité d'aire.