Sujet national, juin 2017, exercice 2

Énoncé

(5 points)
Au 1er janvier 2017, une association sportive compte 900 adhérents. On constate que chaque mois :
  • 25 % des adhérents de l'association ne renouvellent pas leur adhésion ;
  • 12 nouvelles personnes décident d'adhérer à l'association.
Partie A
On modélise le nombre d'adhérents de l'association par la suite (u_n) telle que u0 = 900 et, pour tout entier naturel n :
u_{n+1} = 0,75 u_n + 12.
Le terme u_n donne ainsi une estimation du nombre d'adhérents de l'association au bout de n mois.
1. Déterminer une estimation du nombre d'adhérents au 1er mars 2017.
Remarquez qu'il s'agit de calculer u2, après avoir calculé u1.
2. On définit la suite (v_n) par v_n = u_n - 48 pour tout entier naturel n.
a) Montrer que (v_n) est une suite géométrique de raison 0,75.
Montrez que pour tout entier naturel n, v_{n+1} peut s'écrire sous la forme :
v_{n+1} = 0,75 × v_n.
b) Préciser v0 et exprimer v_n en fonction de n.
Il s'agit de déterminer le terme général de cette suite géométrique.
c) En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, u_n = 852\times 0,75^n + 48.
Exprimez ensuite, pour tout entier naturel n, u_n en fonction de v_n pour déterminer son expression.
3. La présidente de l'association déclare qu'elle démissionnera si le nombre d’adhérents devient inférieur à 100. Si on fait l'hypothèse que l'évolution du nombre d'adhérents se poursuit de la même façon, faudra-t-il que la présidente démissionne ? Si oui, au bout de combien de mois ?
Montrez que la présidente de l'association devra démissionner.
Pour calculer le nombre de mois au bout duquel elle devra démissionner, résolvez une inéquation en raisonnant par équivalence et en utilisant la fonction logarithme népérien.
Partie B
Chaque adhérent verse une cotisation de 10 euros par mois. Le trésorier de l'association souhaite prévoir le montant total des cotisations pour l'année 2017.
Le trésorier souhaite utiliser l'algorithme suivant dans lequel la septième et la dernière ligne sont restées incomplètes (pointillés).
1. Recopier et compléter l'algorithme de façon qu'il affiche le montant total des cotisations de l'année 2017.
Variables
S est un nombre réel
N est un entier
U est un nombre réel
Initialisation
S prend la valeur 0
U prend la valeur 900

Pour N allant de 1 à 12 :
   Affecter à S la valeur ......
   Affecter à U la valeur 0,75U + 12
Fin pour
Sortie
......

Remarquez que la variable U contient le nombre d'adhérents de l'association, mois après mois, et que la variable S doit contenir la somme des cotisations, mois après mois.
2. Quelle est la somme totale des cotisations perçues par l'association pendant l'année 2017 ?
Il s'agit de calculer 10 × (u0u1 + … + u11), qui contient le calcul d'une somme de termes d'une suite géométrique.

Corrigé

Partie A
1. Le nombre d'adhérents de l'association au 1er mars 2017 est le nombre d'adhérents deux mois après le 1er janvier 2017. Il est estimé par la valeur u2.
Commençons par calculer u1, qui est l'estimation du nombre d'adhérents de l'association au 1er février 2017 :
u1 = 0,75u0 + 12 = 0,75 × 900 + 12 = 675 + 12 = 687.
On obtient ensuite : u2  = 0,75u1 + 12 = 0,75 × 687 + 12 = 515,25 + 12 = 527,25 \approx 527.
L'estimation du nombre d'adhérents de l'association au 1er mars 2017 est donc de 527.
2 
a) Pour tout entier naturel n, v_{n+1}u_{n+1} − 48, puis :
v_{n+1} = 0,75 × u_n + 12 − 48 par définition de u_{n+1}.
v_{n+1} = 0,75 × u_n − 36
v_{n+1} = 0,75 × u_n − 0,75 × 48 car 36 = 0,75 × 48
v_{n+1} = 0,75 × (u_n − 48) en factorisant l'expression par 0,75
v_{n+1} = 0,75 × v_n par définition de v_n.
La suite (v_n) est donc une suite géométrique de raison q = 0,75.
b) Le premier terme de cette suite géométrique de raison q = 0,75 est :
v0 = u0 − 48 = 900 − 48 = 852.
D'après la formule donnant le terme général d'une suite géométrique en fonction de son premier terme v0 = 852 et de sa raison q = 0,75, on a :
v_nv_0 \times q^n852 \times 0,75^n pour tout nombre entier naturel n.
c) Pour tout nombre entier naturel n, on a u_nv_n + 48 = 852 \times 0,75^n + 48.
3. On peut tout d'abord remarquer par un calcul de limites que la limite quand n tend vers +\infty de la suite u_n est 48, car 0 < 0,75 < 1.
À partir d'une valeur entière n, les valeurs u_n seront donc inférieures à 100 et la présidente de l'association devra donc démissionner.
Déterminons la première valeur entière n pour laquelle u_n < 100.
852\times 0,75^n + 48 < 100 \Leftrightarrow 852\times 0,75^n < 100 − 48 = 52.
852\times 0,75^n + 48 < 100 \Leftrightarrow 0,75^n < \frac{52}{852}.
852\times 0,75^n + 48 < 100 \Leftrightarrow \ln(0,75^n) < \ln (\frac{52}{852}) car la fonction ln est strictement croissante sur ]0~; +\infty[ et la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.
852\times 0,75^n + 48 < 100 \Leftrightarrow nln(0,75) < \ln (\frac{52}{852}) car \ln(a^n) = n ln(a) pour tout a \in ]0~; +\infty[ et n \inℕ.
852\times 0,75^n + 48 < 100 \Leftrightarrow n > \frac{\ln (\frac{52}{852})}{\ln(0,75)} car ln(0,75) < ln(1) = 0.
\frac{\ln (\frac{52}{852})}{\ln(0,75)} 9,72 au centième près, et la plus petite valeur n telle que :
852\times 0,75^n + 48 < 100 est 10.
La présidente de l'association devra donc démissionner au bout de 10 mois, c'est-à-dire au 1er novembre 2017.
Partie B
1. La variable S doit contenir la somme des cotisations, mois après mois.
La cotisation mensuelle est de 10 € donc, d'un mois sur l'autre, on doit rajouter à S 10 fois le nombre d'adhérents de l'association ce mois-ci, qui est contenu dans la variable U.
L'algorithme complété est donc :
Variables
S est un nombre réel
N est un entier
U est un nombre réel
Initialisation
S prend la valeur 0
U prend la valeur 900

Pour N allant de 1 à 12 :
   Affecter à S la valeur S + 10 × U
   Affecter à U la valeur 0,75U + 12
Fin pour
Sortie
......

2. La somme totale des cotisations perçues par l'association pendant l'année 2017 est : S = 10 × (u0u1 + … + u11).
Pour tout nombre entier naturel n, u_n = 852\times 0,75^n + 48, donc :
S = 10 × (852 × 0,750 + 48 + 852 × 0,751 + 48 + 852 × 0,752 + 48 + … + 852 × 0,7511 + 48)
S = 10 × (852 × 0,750 + 852 × 0,751 + 852 × 0,752 + … + 852 × 0,7511 + 48 × 12) en rassemblant les 12 valeurs 48
S = 10 × (852 × 0,750 + 852 × 0,751 + 852 × 0,752 + … + 852 × 0,7511) + 10 × 48 × 12 en développant l'expression
S = 10 × 852 × (0,750 + 0,751 + 0,752 + … + 0,7511) + 5 760
S = 8 520 × (0,750 + 0,751 + 0,752 + … + 0,7511) + 5 760
S = 8 520 × \frac{1-0,75^{12}}{1-0,75} + 5 760 car 0,750 + 0,751 + 0,752 + … + 0,7511 est la somme de 12 termes consécutifs de la suite géométrique de terme général 0,75^n.
S = 8 520 × \frac{1-0,75^{12}}{0,25} + 5 760
S = 34 080 × (1 − 0,7512) + 5 760
S \approx 38 760 € à l'entier près.
La somme totale des cotisations perçues par l'association pendant l'année 2017 est de 38 760 €.