Sujet national, juin 2017, exercice 1

Énoncé

(6 points)
Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième près.
1. Un supermarché dispose de plusieurs caisses. Un client qui se présente à une caisse doit attendre un certain temps T1 avant d'être pris en charge par le caissier. On considère que ce temps d'attente T1, exprimé en minute, est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [0 ; 12].
a) Quelle est la probabilité qu'un client attende au moins 5 minutes avant d'être pris en charge ?
Il s'agit de calculer pP( T1 supérieur ou égal 5) où la variable aléatoire T1 suit la loi uniforme sur l'intervalle [0 ; 12].
b) Quel est le temps moyen d'attente à une caisse ?
Rappelez-vous que l'espérance de la variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [a ; b] (a < b) est E(X) = \frac{a+b}{2}.
2. Le gérant du magasin décide de mettre à disposition des clients des caisses automatiques, de façon à réduire le temps d'attente pour les clients ayant un panier contenant peu d'articles. Le temps d'attente T2, exprimé en minute, à chacune de ces caisses automatiques est modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 5 et d'écart-type 1,5. Calculer la probabilité que le temps d'attente à une caisse automatique soit compris entre 0,75 minute et 6 minutes.
Il s'agit de calculer P(0,75 inférieur ou égal T2 inférieur ou égal 6) à la calculatrice, où la variable aléatoire T2 suit la loi normale de moyenne 5 et d'écart-type 1,5.
3. Ces caisses automatiques tombent souvent en panne. On donne les informations suivantes :
  • le nombre de caisses automatiques est n = 10 ;
  • la probabilité qu'une caisse automatique tombe en panne pendant une journée donnée est p = 0,1 ;
  • une panne constatée sur une caisse automatique n'influence pas les autres caisses automatiques.
Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de caisses automatiques qui tombent en panne pendant une journée donnée.
a) Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Préciser ses paramètres.
Montrez que la variable aléatoire X suit une loi binomiale.
b) Calculer la probabilité pour qu'aucune caisse automatique ne tombe en panne pendant une journée donnée.
Il s'agit de calculer P(X = 0).
4. Sur la devanture de son magasin, le gérant du supermarché affiche :
« Plus de 90 % des clients de notre magasin sont satisfaits par la mise en place de nos caisses automatiques. »
Une association de consommateurs souhaite examiner cette affirmation. Pour cela, elle réalise un sondage : 860 clients sont interrogés, et 763 d'entre eux se disent satisfaits par la mise en place de ces caisses automatiques.
Cela remet-il en question l'affirmation du gérant ?
Il s'agit de vérifier si la fréquence observée avec l'échantillon appartient ou non à l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % des clients satisfaits par la mise en place des caisses automatiques.

Corrigé

1. 
a) La variable aléatoire T1 suit la loi uniforme sur l'intervalle [0 ; 12].
On a donc p = P(T1 supérieur ou égal 5) = \frac{12-5}{12-0}\frac{7}{12} \approx 0,583 au milllième près.
La probabilité qu'un client attende au moins 5 minutes avant d'être pris en charge est d'environ 0,583.
b) Il s'agit de calculer l'espérance de la variable aléatoire T1.
L'espérance de la variable aléatoire T1 qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [0 ; 12] est E(T1) = \frac{0+12}{2}\frac{12}{2} = 6.
Le temps moyen d'attente à une caisse est donc de 6 minutes.
2. La variable aléatoire T2 suit la loi normale de moyenne 5 et d'écart-type 1,5.
À la calculatrice, p2 = P(0,75 inférieur ou égalT2 inférieur ou égal 6) \approx 0,745 au millième près.
La probabilité p2 que le temps d'attente à une caisse automatique soit compris entre 0,75 minute et 6 minutes est d'environ 0,745.
3 
a) Le client choisit une caisse automatique au hasard parmi n = 10.
La panne constatée sur une caisse automatique, avec la probabilité p = 0,1 pour chacune, n'influence pas les autres caisses automatiques.
La variable aléatoire X correspond donc au nombre de « succès » d'une expérience aléatoire répétée n = 10 fois, où la probabilité de « succès » est de p = 0,1 et où le résultat de chaque expérience aléatoire est indépendant des autres.
La variable aléatoire X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,1.
b) La probabilité qu'aucune caisse automatique ne tombe en panne pendant une journée donnée est P(X = 0).
P(X = 0) = (1 − p)10 = 0,910 \approx 0,349 au millième près.
La probabilité qu'aucune caisse automatique ne tombe en panne pendant une journée donnée est d'environ 0,349.
4. Il s'agit tout d'abord de calculer l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % avec p = \frac{90}{100} = 0,9 et n = 860.
On vérifie que 0 < p = 0,9 < 1, n = 860 supérieur ou égal 30, np = 860  ×  0,9 = 774 supérieur ou égal 5 et n(1 − p) = 860  ×  0,1 = 86 supérieur ou égal 5.
L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence des clients satisfaits par la mise en place des caisses automatiques est :
I860\left[ p - 1,96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p+1,96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]
I860\left[ 0,9 - 1,96\times \frac{\sqrt{0,9\times 0,1}}{\sqrt{860}} ; 0,9 +1,96\times \frac{\sqrt{0,9\times 0,1}}{\sqrt{860}} \right]
I860 \approx [0,879 ; 0,921] en arrondissant les bornes au millième près (par défaut pour la borne inférieure et par excès pour la borne supérieure).
Sur cet échantillon, la fréquence observée de personnes satisfaites par la mise en place de ces caisses automatiques est f\frac{763}{860}\approx 0,8872 au dix-millième près.
Or, f \approx 0,8872\inI860 \approx [0,879 ; 0,921] au millième près, donc cela ne remet pas en cause l'affirmation du gérant au seuil de 95 %.