Sujet national, juin 2016, exercice 4

Énoncé

(6 points)
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
La courbe (C) ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction f définie et dérivable sur [0,5 ; 6]. Les points A(1 ; 3) et B d'abscisse 1,5 sont sur la courbe (C).
Les tangentes à la courbe (C) aux points A et B sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point B est horizontale.
On note f' la fonction dérivée de f.
Sujet national, juin 2016, exercice 4 - illustration 1
1. 
Déterminer f'(1,5).
Rappelez-vous que la tangente à la courbe (C) au point B est horizontale.
2. 
La tangente à la courbe (C) au point A passe par le point de coordonnées (0 ; 2). Déterminer une équation de cette tangente.
Vous pourrez calculer le coefficient directeur de cette tangente à l'aide de deux points de cette droite.
3. 
Donner un encadrement de l'aire, en unités d'aire et à l'unité près, du domaine compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation f = 1 et f = 2.
Pour en déduire un encadrement, remarquez que 3 inférieur ou égal f(x) < 4 pour tout x appartenant à l'intervalle [1 ; 2].
4. 
Déterminer la convexité de la fonction f sur [0,5 ; 6]. Argumenter la réponse.
Pour tous les nombres a de l'intervalle [0,5 ; 6], observez la position de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a par rapport à cette courbe.
Partie B
On admet que la fonction f est définie sur [0,5 ; 6] par f(x) = −2x + 5 + 3ln(x).
1. 
Pour tout réel x de [0,5 ; 6], calculer f'(x) et montrer que f'(x) = \frac{-2x+3}{x}.
Rappelez-vous que pour tout x\in]0 ; +\infty[, ln'(x) = \frac{1}{x}.
2. 
Étudier le signe de f' sur [0,5 ; 6] puis dresser le tableau de variation de f sur [0,5 ; 6].
Remarquez que le signe de f'(x) sur l'intervalle [0,5 ; 6] est celui du numérateur −2x + 3.
3. 
Montrer que l'équation f(x) = 0 admet exactement une solution α sur [0,5 ; 6].
Donner une valeur approchée de α à 10-2 près.
Utilisez le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [0,5 ; 6] et le théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle [1,5 ; 6].
4. 
En déduire le tableau de signe de f sur [0,5 ; 6].
Déduisez le tableau de signe de f sur cet intervalle des questions 2. et 3.
5. 
On considère la fonction F définie sur [0,5 ; 6] par F(x) = −x2 + 2x + 3xln(x).
a) 
Montrer que F est une primitive de f sur [0,5 ; 6].
Il s'agit de montrer que pour tout x \in[0,5 ; 6], F'(x) = f(x).
Rappelez-vous que pour toutes fonctions u et v dérivables sur l'intervalle I, on a :
(u × v)' = u × v' + uv sur I.
b) 
En déduire l'aire exacte, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 1 et x = 2. En donner ensuite une valeur arrondie au dixième.
Exprimez cette aire à l'aide de la fonction F, en n'oubliant pas de préciser que la fonction f est positive sur l'intervalle [1 ; 2].

Corrigé

Partie A
1. D'après l'énoncé, la tangente à la courbe (C) au point B est horizontale donc f'(1,5) = 0.
2. La tangente à la courbe (C) au point A(1 ; 3) passe par le point de coordonnées (0 ; 2).
Son coefficient directeur est donc : \frac{3-2}{1-0} = 1.
Elle passe par le point de coordonnées (0 ; 2) donc son ordonnée à l'origine est 2.
Finalement, une équation de la tangente à la courbe (C) au point A est yx + 2.
3. La fonction f est positive sur l'intervalle [1 ; 2], donc le domaine compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 1 et x = 2 est A = \int_1^2 f(x) \mathrm{d}x en unités d'aire.
Graphiquement, on remarque que 3 inférieur ou égal f(x) < 4 pour tout x appartenant à l'intervalle [1 ; 2].
En intégrant cette relation sur l'intervalle [1 ; 2], on obtient :
\int_1^2 3 \mathrm{d}x inférieur ou égal A\int_1^2 f(x) \mathrm{d}x < \int_1^2 4 \mathrm{d}x
(2 − 1) × 3 inférieur ou égal A\int_1^2 f(x) \mathrm{d}x < (2 − 1) × 4
3 inférieur ou égal A\int_1^2 f(x) \mathrm{d}x < 4.
L'aire du domaine situé entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 1 et x = 2 est donc compris entre 3 et 4 unités d'aire.
4. On a les propriétés suivantes :
  • une fonction est convexe sur un intervalle I si et seulement si sa courbe représentative est au-dessus de toutes ses tangentes en les points d'abscisse x de I ;
  • une fonction est concave sur un intervalle I si et seulement si sa courbe représentative est au-dessous de toutes ses tangentes en les points d'abscisse x de I.
Graphiquement, on remarque que la courbe représentative de f est au-dessous de ses tangentes en tous les points d'abscisse x de l'intervalle [0,5 ; 6].
La fonction f est donc concave sur l'intervalle [0,5 ; 6].
Partie B
1. La fonction f est dérivable sur l'intervalle [0,5 ; 6] en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout x \in[0,5 ; 6], f'(x) = −2 + \frac{3}{x}\frac{-2x+3}{x}.
2. 
Pour tout x \in[0,5 ; 6], f'(x) = \frac{-2x+3}{x} qui est du signe de −2x + 3 car x est toujours positif sur cet intervalle.
Sur cet intervalle, on a donc :
  • f'(x) > 0 \Leftrightarrow −2x + 3 > 0 \Leftrightarrow 3 > 2x \Leftrightarrow \frac{3}{2} = 1,5 > x ;
  • f'(x) < 0 \Leftrightarrow −2x + 3 < 0 \Leftrightarrow 3 < 2x \Leftrightarrow 1,5 < x ;
  • f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1,5.
La fonction f est donc strictement croissante sur l'intervalle [0,5 ; 1,5] et strictement décroissante sur l'intervalle [1,5 ; 6].
f(0,5) = −2 × 0,5 + 5 + 3ln(0,5) = 4 + 3ln(0,5) \approx 1,9 au dixième près.
f(1,5) = −2 × 1,5 + 5 + 3ln(1,5) = 2 + 3ln(1,5) \approx 3,2 au dixième près.
f(6) = −2 × 6 + 5 + 3ln(6) = −7 + 3ln(6) \approx −1,6 au dixième près.
Tableau de variation :
Tableau de variation :
3. 
Pour tout x \in[0,5 ; 1,5], f(x) > 0, donc l'équation f (x) = 0 n'a aucune solution sur cet intervalle.
Sur l'intervalle [1,5 ; 6], la fonction f est strictement décroissante d'après la question précédente.
De plus, f(1,5) \approx 3,2 au dixième près donc f(1,5) > 0 et f(6) \approx −1,6 au dixième près donc f(6) < 0.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α sur l'intervalle [1,5 ; 6], donc aussi sur l'intervalle [0,5 ; 6].
Graphiquement, on remarque que 4 < α < 5.
À l'aide d'un premier tableau de valeurs, on a : 4,8 < α < 4,9.
Sujet national, juin 2016, exercice 4 - illustration 3
À l'aide d'un deuxième tableau de valeurs, on a : 4,87 < α < 4,88.
Sujet national, juin 2016, exercice 4 - illustration 4
La valeur approchée de α à 10-2 près par défaut est 4,87, mais la valeur approchée à 10-2 près par excès 4,88 convient aussi.
4. D'après les questions précédentes, avec α \approx 4,87, on a :
  • la fonction f est positive sur l'intervalle [0,5 ; α] ;
  • la fonction f est négative sur l'intervalle [α ; 6].
5. 
a) La fonction F est définie sur l'intervalle [0,5 ; 6] par F(x) = −x 2 + 2x + 3xln(x).
Montrons que F est une primitive de f sur l'intervalle [0,5 ; 6], c'est-à-dire que F'(x) = f(x) pour tout x \in[0,5  ; 6].
La fonction F est dérivable sur l'intervalle [0,5 ; 6] en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout x \in[0,5 ; 6], en posant u(x) =  x et v(x) = ln(x), on a u'(x) = 1, v'(x) = \frac{1}{x} et :
F'(x) = −2x + 2 + 3(u ×  v)'(x)
F'(x) = −2x + 2 + 3(u(x)  × v'(x) + u'(x) × v (x))
F'(x) = −2x + 2 + 3(x ×  \frac{1}{x} + 1 × ln(x))
F'(x) = −2x + 2 + 3 × (1 + ln (x))
F'(x) = −2x + 2 + 3 + 3ln(x)
F'(x) = −2x + 5 + 3ln(x)
F'(x) = f(x).
La fonction F est donc une primitive de la fonction f sur l'intervalle [0,5 ;  6].
b) La fonction f est positive sur l'intervalle [1 ; 2], donc le domaine compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 1 et x = 2 est A = \int_1^2 f(x) \mathrm{d}x en unités d'aire.
D'après la question 5. a), A\int_1^2 f(x) \mathrm{d}x[F(x)]_1^2F(2) − F(1) car F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [0,5 ; 6] donc sur l'intervalle [1 ; 2].
On a donc :
A\int_1^2 f(x) \mathrm{d}x
AF(2) − F(1)
A = −22 + 2 × 2 + 3 × 2ln(2) − (−12 + 2 × 1 + 3ln(1))
A = −4 + 4 + 6ln(2) − (−1 + 2)
A = 6ln(2) − 1
A \approx 3,2 u.a. au dixième près.
L'aire du domaine compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation x  = 1 et x  = 2 est A = 6ln(2) − 1 \approx 3,2 u.a. au dixième près.