Sujet national, juin 2016, exercice 3

Énoncé

(5 points)
Les parties A et B sont indépendantes.
Un téléphone portable contient en mémoire 3 200 chansons archivées par catégories : rock, techno, rap, reggae… dont certaines sont interprétées en français.
Parmi toutes les chansons enregistrées, 960 sont classées dans la catégorie rock.
Une des fonctionnalités du téléphone permet d'écouter de la musique en mode « lecture aléatoire » : les chansons écoutées sont choisies au hasard et de façon équiprobable parmi l'ensemble du répertoire.
Au cours de son footing hebdomadaire, le propriétaire du téléphone écoute une chanson grâce à ce mode de lecture.
On note :
  • R l'événement : « la chanson écoutée est une chanson de la catégorie rock » ;
  • F l'événement : « la chanson écoutée est interprétée en français ».
Partie A
1. Calculer P(R), la probabilité de l'événement R.
Utilisez les données de l'énoncé pour effectuer le calcul.
2. 35  % des chansons de la catégorie rock sont interprétées en français ; traduire cette donnée en utilisant les événements R et F.
Remarquez qu'il s'agit de calculer une probabilité conditionnelle.
3. Calculer la probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie rock et qu'elle soit interprétée en français.
Remarquez qu'il s'agit de calculer la probabilité d'une intersection et utilisez la formule des probabilités conditionnelles.
4. Parmi toutes les chansons enregistrées, 38,5 % sont interprétées en français.
Montrer que P(F\cap \bar{R}) = 0,28.
Pensez à utiliser la formule des probabilités totales en déterminant une partition de F.
Utilisez ensuite des probabilités dont les valeurs sont connues.
5. En déduire P_{\bar{\mathrm{B}}}(\mathrm{F}) et exprimer par une phrase ce que signifie ce résultat.
Utilisez la formule des probabilités conditionnelles, avec des valeurs numériques des questions précédentes.
Partie B
Les résultats de cette partie seront arrondis au millième.
Le propriétaire du téléphone écoute régulièrement de la musique à l'aide de son téléphone portable.
On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque écoute de musique, associe la durée (en minutes) correspondante ; on admet que X suit la loi normale d'espérance μ = 30 et d'écart-type σ = 10.
Le propriétaire écoute de la musique.
1. Quelle est la probabilité que la durée de cette écoute soit comprise entre 15 et 45 minutes ?
Calculez cette probabilité à l'aide de la calculatrice.
2. Quelle est la probabilité que cette écoute dure plus d'une heure ?
Pensez à utiliser la probabilité P(μ − 3σ inférieur ou égal X inférieur ou égal μ + 3σ) \approx 0,997 au millième près.

Corrigé

Partie A
1. D'après l'énoncé, on a : P(R) = \frac{960}{3~200} = 0,3.
2. Cette donnée signifie aussi : parmi les chansons de la catégorie rock, 35 % sont interprétées en français.
En termes de probabilité, cette donnée signifie que P_{\mathrm{R}}(\mathrm{F})\frac{35}{100} = 0,35.
3. Il s'agit de calculer la probabilité P(R\capF).
D'après la formule des probabilités conditionnelles, on a :
P(R\capF) = P_{\mathrm{R}}(\mathrm{F}) \times P(\mathrm{R}) = 0,35 × 0,3 = 0,105 d'après les questions 1. et 2.
4. D'après l'énoncé, on a P(F) = \frac{38,5}{100} = 0,385.
Les événements R\capF et \bar{\mathrm{R}} \cap \mathrm{F} forment une partition de l'événement F.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
P(F) = P(R\capF) + P(\bar{\mathrm{R}} \cap \mathrm{F})
0,385 = 0,105 + P(\bar{\mathrm{R}} \cap \mathrm{F}) d'après la question 3.
P(\bar{\mathrm{R}} \cap \mathrm{F}) = 0,385 − 0,105
P(\bar{\mathrm{R}} \cap \mathrm{F}) = 0,28.
La probabilité qu'une chanson écoutée choisie au hasard ne soit pas une chanson de la catégorie rock et qu'elle soit interprétée en français est 0,28.
5. D'après la formule des probabilités conditionnelles, on a :
P_{\bar{\mathrm{R}}}(\mathrm{F})\frac{P(\bar{\mathrm{R}} \cap \mathrm{F})}{P(\bar{\mathrm{R}})}
P_{\bar{\mathrm{R}}}(\mathrm{F})\frac{0,28}{1-0,3} car P(\bar{\mathrm{R}} \cap \mathrm{F}) = 0,28 et P(R) = 0,3
P_{\bar{\mathrm{R}}}(\mathrm{F})\frac{0,28}{0,7}
P_{\bar{\mathrm{R}}}(\mathrm{F}) = 0,4.
Sachant que la chanson écoutée choisie au hasard n'est pas une chanson de la catégorie rock, la probabilité qu'elle soit interprétée en français est 0,4.
Partie B
1. Il s'agit de calculer la probabilité P(15 inférieur ou égal X inférieur ou égal 45) à la calculatrice.
Avec une CASIO
Dans les menus « STAT », puis « DIST », puis « NORM », puis « Ncd », entrer :
  • Lower : 15 ;
  • Upper : 45 ;
  • σ : 10 ;
  • μ : 30 ;
  • Puis calculer.
Avec une T.I.
Dans les menus « DISTR » (avec « 2nd » puis « VARS »), puis « normalcdf( » ou bien « normalFRép( » selon les modèles, compléter en « normalcdf(15,45,30,10) » ou bien « normalFRép(15,45,30,10) ».
On a P(15 inférieur ou égal X inférieur ou égal 45) \approx 0,866 au millième près.
La probabilité que la durée de cette écoute soit comprise entre 15 et 45 minutes est d'environ 0,866.
2. 
Il s'agit de calculer la probabilité P(X supérieur ou égal 60).
On a : P(X inférieur ou égal 0) + P(0 inférieur ou égal X inférieur ou égal 60) + P(X supérieur ou égal 60) = 1.
Par symétrie par rapport à la droite d'équation x = 30 , on a P(X inférieur ou égal 0) = P(X supérieur ou égal 60), donc :
P(0 inférieur ou égal X inférieur ou égal 60) + 2 × P(X supérieur ou égal 60) = 1
2 × P(X supérieur ou égal 60) = 1 − P(0 inférieur ou égal X inférieur ou égal 60)
P(X supérieur ou égal 60) = \frac{1- P(0 \le \mathrm{X} \le 60)}{2}
P(X supérieur ou égal 60) \approx \frac{1- 0,9973}{2} car P(0 inférieur ou égal X inférieur ou égal 60) P(μ − 3σ inférieur ou égal X inférieur ou égal μ + 3σ)\approx 0,9973 au dix-millième près (à la calculatrice).
P(X supérieur ou égal 60) \approx 0,00135 \approx 0,001 au millième près.
La probabilité que cette écoute dure plus d'une heure est d'environ 0,001.
Remarque : en utilisant la formule du cours, P(0 inférieur ou égal X inférieur ou égal 60) P(μ − 3σ inférieur ou égal X inférieur ou égal μ + 3σ) \approx 0,997 au millième près, on obtient P(X supérieur ou égal 60) = \frac{1- 0,997}{2}\frac{0,003}{2} = 0,0015.
Cette valeur ne permet pas de choisir (entre 0,001 et 0,002) la valeur arrondie du résultat au millième près.